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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 9

No instante quando θ = 90 ° , o corpo do satélite está girando com uma velocidade angular ω 1 = 15   r a d / s e aceleração angular ω ˙ 1 = 3   r a d / s 2 . Simultaneamente, os painéis solares giram com uma velocidade angular ω 2 = 6   r a d / s   e aceleração angular ω ˙ 2 = 1,5   r a d / s 2 . Determine a velocidade e a aceleração do ponto B no painel solar nesse instante.

Passo 1

O DCL abaixo mostra as velocidades e acelerações presentes no problema.

O painel solar rotaciona em torno do ponto fixo O . Uma vez que, no instante θ = 90 ° , o sistema fixo X Y Z coincide com o sistema relacionado x y z , então, a velocidade angular do painel pode ser obtida por

ω = ω 1 + ω 2 = 6 j + 15 k r a d / s

Passo 2

De modo semelhante, a aceleração angular é calculada por

α = ω ˙ = ω ˙ 1 + ω ˙ 2

Definindo o sistema de cordenadas x y z como referência para ter uma velocidade angular ω 1 , então, a velocidade angular ω 2 será constate em relação a x y z e sempre direcionada ao eixo y . Logo,

ω ˙ 2 = ω ˙ 2 x y z + ω 1 × ω 2 = 1,5 j + 15 k × 6 j = - 90 i + 1,5 j   r a d / s 2

ω ˙ 1 = ω ˙ 1 x y z + ω 1 × ω 1 = 3 k + ( 15 k × 15 k ) = 3 k   r a d / s 2

Portanto,

α = 3 k + - 90 i + 1,5 j = - 90 i + 1,5 + 3 k r a d / s 2

Passo 3

Como r O B = - 0,3 i + 1,8 j m , a velocidade no ponto B será

v B = ω × r O B = 6 j + 15 k × - 0,3 i + 1,8 j = - 27 i - 4,5 j + 1,8 k   m / s

E a aceleração no ponto B é igual a

a B = α × r O B + ω × ( ω × r O B )

a B = - 90 i + 1,5 + 3 k × - 0,3 i + 1,8 j + 6 j + 15 k × [ 6 j + 15 k × ( - 0,3 i + 1,8 j ) ]

a B = 72,9 i - 405,9 j + 0,45 k   m / s 2

Resposta

A velocidade e a aceleração no ponto B , no instante em que θ = 90 ° , são iguais a - 27 i - 4,5 j + 1,8 k   m / s   e 72,9 i - 405,9 j + 0,45 k   m / s 2 , respectivamente.

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