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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 32

A barra A B está fixada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas. Se o anel A tem uma velocidade v A = 1,5 i   m / s e uma aceleração a A = 0,2 i   m / s 2 no instante mostrado, determine a aceleração do anel B . Suponha que a velocidade angular e a aceleração angular são perpendiculares à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade do anel B .

Vamos às analises:

r B / A = - 0,2 i + 0,6 j - 0 , 3 k

α A B = α A B x i + α A B y j + α A B z k

a A = 0,2 i   m / s 2

a B = a B k

Do exercício anterior, sabemos que ω A B = 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k   r a d / s .

Temos então que:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

a B k = 0,2 i + α A B x i + α A B y j + α A B z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k + 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × ( 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k )

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Vamos encontrar cada termo da equação de a B , para melhorar a organização dos cálculos:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

a B k = 0,2 i + α A B x i + α A B y j + α A B z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k + 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

α A B × r B / A = α A B x i + α A B y j + α A B z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

α A B × r B / A = i j k α A B x α A B y α A B z - 0,2 0,6 - 0 , 3

α A B × r B / A = - 0,3 α A B y i - 0,2 α A B z j + 0,6 α A B x k - 0,6 α A B z i - 0,3 α A B x j - 0,2 α A B y k

α A B × r B / A = - 0,3 α A B y - 0,6 α A B z i + - 0,2 α A B z + 0,3 α A B x j + 0,6 α A B x + 0,2 α A B y k

ω A B × r B / A = 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

ω A B × r B / A = i j k 1,2245 1,3265 1,8367 - 0,2 0,6 - 0,3

ω A B × r B / A = - 0,3 ( 1,3265 ) i - 0,2 ( 1,8367 ) j + 0,6 ( 1,2245 ) k - 0,6 ( 1,8367 ) i - 0,3 ( 1,2245 ) j - 0,2 ( 1,3265 ) k

ω A B × r B / A = - 1,5 i + 0 j + 1 k

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = 1,2245 i + 1,3265 j + 1,8367 k × - 1,5 i + 0 j + 1 k  

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = i j k 1,2245 1,3265 1,8367 - 1,5 0 1

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = = 1 ( 1,3265 ) i - 1,5 ( 1,8367 ) j + 0 ( 1,2245 ) k - 0 1,8367 i + 1 ( 1,2245 ) j - 1,5 ( 1,3265 ) k

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = 1,3265 i + 4 j + 2 k

Juntando tudo temos:

a B k = 0,2 i + - 0,3 α A B y - 0,6 α A B z i + - 0,2 α A B z + 0,3 α A B x j + 0,6 α A B x + 0,2 α A B y k + 1,3265 i + 4 j + 2 k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

0 i = 0,2 i + - 0,3 α A B y - 0,6 α A B z i + 1,3265 i

0 j = - 0,2 α A B z + 0,3 α A B x j + 4 j

a B k = 0,6 α A B x + 0,2 α A B y k + 2 k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

α A B ⋅ r B / A = 0

α A B x i + α A B y j + α A B z k ⋅ - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k = 0

- 0,2 α A B x + 0,6 α A B y - 0,3 α A B z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

α A B x = 13,43   r a d / s 2

α A B y = 4,599   r a d / s 2

α A B z = 0,2449   r a d / s 2

a B = 109,7   m / s 2

Logo:

a B = 109,7 k   m / s 2

Resposta

a B = 109,7 k   m / s 2

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