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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 30

Se a manivela B C está girando com uma velocidade angular ω B C = 6   r a d / s e uma aceleração angular ω ˙ B C = 1,5   r a d / s 2 , determine a aceleração do anel A nesse instante. Suponha que a velocidade angular e a aceleração angular de A B são perpendiculares à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a aceleração do anel A no instante descrito.

Vamos às analises:

r C B = - 0,3 i

α B C = 1,5 k

Temos então que:

a B = α B C × r C B + ω B C × ( ω B C × r C B )

a B = 1,5 k × - 0,3 i + 6 k × 6 k × - 0,3 i

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Portanto:

a B = - 0,45 j + 6 k × - 1,8 j

a B = - 0,45 j + ( - 10,8 ) ( - i )

a B = 10,8 i - 0,45 j   m / s 2

Passo 2

O movimento de A é relativo, portanto:

a A = a B + α A B × r A / B + ω A B × ( ω A B × r A / B )

Do exercício anterior, sabemos que ω A B = - 2,133 i + 0,3902 j - 0,3121 k   r a d / s . Vamos encontrar cada termo da equação de a A , para melhorar a organização dos cálculos:

a A = a A k

a B = 10,8 i - 0,45 j

α A B × r A / B = α A B x i + α A B y j + α A B z k × - 0,3 i - 1 j + 0,8 k

α A B × r A / B = i j k α A B x α A B y α A B z - 0,3 - 1 0,8

α A B × r A / B = 0,8 α A B y i - 0,3 α A B z j - α A B x k - - α A B z i + 0,8 α A B x j - 0,3 α A B y k

α A B × r A / B = 0,8 α A B y + α A B z i + - 0,8 α A B x - 0,3 α A B z j + 0,3 α A B y - α A B x k

ω A B × r A / B = - 2,133 i + 0,3902 j - 0,3121 k × - 0,3 i - 1 j + 0,8 k

ω A B × r A / B = i j k - 2,133 0,3902 - 0,3121 - 0,3 - 1 0,8

ω A B × r A / B = 0,8 ( 0,3902 ) i - 0,3 ( - 0,3121 ) j - ( - 2,133 ) k - - ( - 0,3121 ) i + 0,8 ( - 2,133 ) j - 0,3 ( 0,3902 ) k

ω A B × r A / B = 6 10 - 5 i + 1,8 j + 2,25 k

ω A B × ω A B × r A / B = - 2,133 i + 0,3902 j - 0,3121 k × 6 10 - 5 i + 1,8 j + 2,25 k  

ω A B × ω A B × r A / B = i j k - 2,133 0,3902 - 0,3121 6 10 - 5 1,8 2,25

ω A B × ω A B × r A / B = 2,25 0,3902 i + 6 10 - 5 - 0,3121 j + 1,8 ( - 2,133 ) k - 1,8 - 0,3121 i + 2,25 - 2,133 j + 6 10 - 5 ( 0,3902 ) k

ω A B × ω A B × r A / B = 1,44 i + 4,8 j + - 3,8 4 k

Juntando tudo temos:

a A k = 10,8 i - 0,45 j + 0,8 α A B y + α A B z i + - 0,8 α A B x - 0,3 α A B z j + 0,3 α A B y - α A B x k + 1,44 i + 4,8 j + - 3,84 k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

0 i = 10,8 i + 0,8 α A B y + α A B z i + 1,44 i

0 j = - 0,45 j + - 0,8 α A B x - 0,3 α A B z j + 4,8 j

a A k = 0,3 α A B y - α A B x k + - 3,84 k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

α A B ⋅ r A / B = 0

α A B x i + α A B y j + α A B z k ⋅ - 0,3 i - 1 j + 0,8 k = 0

- 0,3 α A B x - 1 α A B y + 0,8 α A B z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

α A B x = 7,807   r a d / s 2

α A B y = - 7,399   r a d / s 2

α A B z = - 6,321   r a d / s 2

a A = - 13,9   m / s 2

Logo:

a A = - 13,9 k   m / s 2

Resposta

a A = - 13,9 k   m / s 2

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