Enunciado

O estado de tensões mostrado ocorre em um componente de máquina, que é feito de um latão para o qual σ e = 175   M P a . Usando o critério da máxima energia de distorção, determinar a variação dos valores de σ z , de tal modo que o escoamento não ocorra.

Passo 1

Oi, gente! Tudo bem com vocês? Espero que sim! Sem enrolar, vamos direto para o que interessa: entender o que o resultado pediu e saber como resolver a questão!

O enunciado nos mostra uma figura com um estado de tensões e pede para a gente determinar quais os valores de σ z impedem o componente de máquina escoar, usando o critério da máxima energia de distorção. A figura abaixo mostra o estado de tensões do componente.

O critério da máxima energia de distorção usa as tensões principais σ a , σ b e σ c . Ele é basicamente a inequação 10.35 do livro.

σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2 < 2 σ e 2

onde σ e é a tensão de resistência ao escoamento do latão dada pelo enunciado σ e = 175   M P a . σ c depende de σ z .

Essa equação mostra que determinar os valores de σ z que não fazem o componente escoar é a mesma coisa que garantir que o lado esquerdo da inequação vai sempre ser menor que o lado direito.

Para garantir isso precisamos achar σ a , σ b e σ c no próximo passo!

Passo 2

Para calcular as tensões principais σ a , σ b e σ c , usaremos as equações de tensões principais abaixo, substituindo σ x , σ y , σ z e τ x y da figura.

σ a = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ a = 30 + 100 2 + 30 - 100 2 2 + 84 2     ⟹     σ a = 156   M P a

σ b = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ b = 30 + 100 2 - 30 - 100 2 2 + 84 2     ⟹     σ b = - 26   M P a

σ c = σ z

Agora estamos prontos para substituir as tensões principais na equação do critério de máxima energia de distorção e achar os valores de σ z que queremos.

Passo 3

Vamos substituir σ a , σ b e σ c na equação do critério de máxima energia de distorção e resolver a questão!

σ a - σ b 2 + σ b - σ c 2 + σ c - σ a 2 < 2 σ e 2

156 - - 26 2 + - 26 - σ z 2 + σ z - 156 2 < 2 × 175 2

33124 + 676 + 52 σ z + σ z 2 + σ z 2 - 312 σ z + 24336 < 61250

2 σ Z 2 - 260 σ z - 3114 < 0

σ Z 2 - 130 σ z - 1557 < 0

Vemos que a inequação acima é de segundo grau. Isso significa que, para encontrar os valores de σ z que fazem o lado esquerdo permanecer menor que zero, precisamos achar as raízes através da fórmula de Bhaskara. Para usar essa fórmula, vamos reconhecer primeiro os valores dos coeficientes do polinômio de segundo grau.

σ Z 2 - 130 σ z - 1557 a x 2 + b x + c       ⟹       a = 1 b = - 130 c = - 1557

Agora vamos substituir esses coeficientes na fórmula de Bhaskara.

σ z 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

σ z 1,2 = - - 130 ± - 130 2 - 4 × 1 × - 1557 2 × 1

σ z 1 = - 11   M P a

σ z 2 = 141   M P a

Esses dois valores σ z 1 e σ z 2 são os limites de σ z . Isso quer dizer que σ z deve ficar na faixa de valores mostrados abaixo.

σ z 1 < σ z < σ z 2

- 11   M P a < σ z < 141   M P a

Aeeee! Terminamos a questão! Parabéns pra nós!

Resposta

- 11   M P a < σ z < 141   M P a

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