Enunciado

Resolver o Prob. 10.14, usando as propriedades do material dado e assumindo que a barra A B C é feita inteiramente de:

  1. aço;
  2. alumínio.

Passo 1

Faaala, estudante! Tá precisando de ajuda nesse exercício de energia de deformação?

Então vamos fazer tudo passo a passo e bem explicadinho!

O problema quer que a gente ache a energia máxima de deformação U da barra A B C em dois casos: no caso A, a questão quer que a gente calcule a energia de deformação máxima U A , quando a barra A B C é toda feita de aço com tensão de escoamento σ e A = 420   M P a e módulo de elasticidade E A = 200   G P a .

P e A é a força que faz a barra começar a se deformar de forma permanente no caso A. Ou seja, é a força que gera a tensão máxima σ e A na barra, fazendo a barra escoar e absorver a energia máxima U A . Para achar o P e A , temos que comparar a força P e 1 A que faz a parte grossa escoar com a força P e 2 A que faz a parte fina escoar no caso A. A menor das duas será a força P e A que faz a barra total A B C escoar!

P e 1 A = σ e A × A 1

P e 2 A = σ e A × A 2

A 1 é a área da seção transversal da parte mais grossa da barra A B C . A 2 é a área da seção transversal da parte mais fina da barra A B C .

Como a área A 2 é menor que a área A 1 , P e 2 A é menor que P e 1 A . Por isso:

P e A = P e 2 A = σ e A × A 2

No caso B, temos que calcular a energia de deformação máxima U B , quando a barra A B C é toda feita de alumínio com tensão de escoamento σ e B = 300   M P a e módulo de elasticidade E B = 75   G P a .

Em qualquer um dos casos, podemos ver que a barra A B C tem duas partes: a parte 1 grossa com comprimento l e a parte 2 fina com comprimento L .

O método para achar P e B é igual zinho ao método para achar P e A ! Por isso, achamos que P e B vale:

P e B = P e 2 B = σ e B × A 2

Tá, aprendemos várias coisas! Mas como podemos calcular U A e U B a partir de P e A e P e B ?

A barra A B C é formada por duas partes com área constante: a parte 1 com área A 1 e a parte dois com área A 2 . Logo, sua energia de deformação máxima U é a soma entra as energias de deformação da barra 1 U 1 e da barra 2 U 2 .

U = U 1 + U 2       U A = U 1 A + U 2 A U B = U 1 A + U 1 B

Como essas duas barras têm áreas de seção transversal constantes, podemos usar a fórmula 10.14 do livro que calcula as energias de deformação U 1 e U 2 delas.

U 1 = P e 2 l 2 A 1 E 1       U 1 A = P e A 2 l 2 A 1 E A U 1 B = P e B 2 l 2 A 1 E B

U 2 = P e 2 L 2 A 2 E 2       U 2 A = P e A 2 L 2 A 2 E A U 2 B = P e B 2 L 2 A 2 E B

Substituindo U 1 e U 2 na equação de U :

U = P e 2 l 2 A 1 E 1 + P e 2 L 2 A 2 E 2       U A = P e A 2 l 2 A 1 E A + P e A 2 L 2 A 2 E A U B = P e B 2 l 2 A 1 E B + P e B 2 L 2 A 2 E B

Agora que temos todas essas informações em mãos, vamos calcular a deformação máxima no caso A U A no próximo passo!

Passo 2

Nesse passo nós vamos calcular quanto vale U A para resolver a letra (a) da questão. Para isso, precisamos achar as áreas A 1 e A 2 em m 2 .

A 1 = π × D 1 2 4       ⟹       A 1 = π × 18 2 4       ⟹       A 1 = 254   m m 2       ⟹       A 1 = 254 × 10 - 6   m 2

A 2 = π × D 2 2 4       ⟹       A 2 = π × 12 2 4       ⟹       A 2 = 113   m m 2       ⟹       A 2 = 113 × 10 - 6   m 2

Antes de achar P e A , precisamos lembrar que a tensão σ e A = 420   M P a vale σ e A = 420 × 10 6   P a . Com isso:

P e A = σ e A × A 2       ⟹       P e A = 420 × 10 6 × 113 × 10 - 6       ⟹       P e A = 47460   N

Com esse valor em mãos, podemos achar U A .

No entanto, antes de calcular U A   , temos que lembrar que E A = 200   G P a vale E A = 200 × 10 9   P a .

Substituindo esses valores na equação de U A   :

U A = P e A 2 l 2 A 1 E A + P e A 2 L 2 A 2 E A

U A = 47460 2 × 0,6 2 × 254 × 10 - 6 × 200 × 10 9 + 47460 2 × 0,9 2 × 113 × 10 - 6 × 200 × 10 9

U A = 58 , 2   J

Passo 3

Nesse passo nós vamos calcular quanto vale U B para resolver a letra (b) da questão. Para isso, precisamos achar P e B .

Mas antes de achar P e B , precisamos lembrar que a tensão σ e B = 30 0   M P a vale σ e A = 30 0 × 10 6   P a . Com isso:

P e B = σ e B × A 2       ⟹       P e B = 30 0 × 10 6 × 113 × 10 - 6       ⟹       P e B = 33900   N

Com esse valor em mãos, podemos achar U B .

No entanto, antes de calcular U B   , temos que lembrar que E B = 75   G P a vale E B = 75 × 10 9   P a .

Substituindo esses valores na equação de U B :

U B = P e B 2 l 2 A 1 E B + P e B 2 L 2 A 2 E B

U B = 33900 2 × 0,6 2 × 254 × 10 - 6 × 75 × 10 9 + 33900 2 × 0,9 2 × 113 × 10 - 6 × 75 × 10 9

U B = 79,1   J

Resposta

a   U A = 58 , 2   J

b   U B = 79,1   J

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A viga AB é simplesmente apoiada sofre um impacto em D devido a um bloco de massa m, que se desloca horizontalmente com uma velocidade v 0 . Mostrar que a tensão normal máxima resultante σ m na viga,
A montagem ABC é feita de um aço para o qual E = 200 G P A e σ e = 320 G P a . Sabendo-se que uma energia de deformação de 5J deve ser absorvida pela montagem, assim que a carga axial P é aplicado, de
Duas placas de cobertura são soldadas a uma viga de perfil laminado de aço, como mostrado. Usando-se E = 29 MPa, determinar a declividade e a deflexão do ponto C.
Resolver o prob; 10,146 assumindo que o comprimento BC das placas é de cobertura reduzido para 1,2 m.
Duas barras de aço maciças, cada uma com 56mm de diâmetro, são soldadas juntas para formar o suporte mostrado. Usando E = 200 GPa e G = 77 GPa, determinar a deflexão vertical do ponto C.