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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 75

A linha de inclinação b:a, onde a e b são ambas diferentes de zero, estava desenhada na placa quando ela estava ausente de tensões. A placa é então submetida ao estado biaxial de tensões indicado. Pede-se para mostrar que dentro da zona elástica e para qualquer material a variação percentual na inclinação da linha pode ser expressa por:

100 σ y - σ x 2 G

Usar o resultado obtido no item a) para resolver os p r o b s .   2.68   e   2.71 .

Passo 1

Sabemos que para determinarmos a variação percentual do ângulo, precisamos fazer o seguinte:

T g θ = b a

T g θ ' = b ( 1 + ε y ) a ( 1 + ε x )

V ( % ) = 100 ∆ t g θ t g θ

V ( % ) = 100 ( T g θ ' - T g θ ) T g θ

V ( % ) = 100 b 1 + ε y a 1 + ε x - b a b a

V ( % ) = 100 1 + ε y 1 + ε x - 1 1

V ( % ) = 100 1 + ε y 1 + ε x - 1

V ( % ) = 100 1 + ε y - 1 + ε x 1 + ε x

V ( % ) = 100 ε y - ε x 1 + ε x

Sabemos que:

ε x = σ x E - ϑ σ y E

ε y = σ y E - ϑ σ x E

Resolvendo primeiro o numerador teremos que:

ε y - ε x = σ y E - ϑ σ x E - σ x E - ϑ σ y E

ε y - ε x = σ y E - ϑ σ x E - σ x E + ϑ σ y E

ε y - ε x = σ y E ( 1 + ϑ ) - σ x E ( 1 + ϑ )

Sabemos que:

E = 2 G ( 1 + ϑ )

Se substituirmos teremos que:

ε y - ε x = σ y 2 G ( 1 + ϑ ) ( 1 + ϑ ) - σ x 2 G ( 1 + ϑ ) ( 1 + ϑ )

ε y - ε x = σ y 2 G - σ x 2 G

ε y - ε x = σ y - σ x 2 G

Se analisarmos o denominador podemos seguir o conselho do enunciado, pois temos que:

1 + ε x = 1 + σ x E - ϑ σ y E

O enunciado diz para negligenciarmos os termos σ x E e σ y E

Sendo assim podemos fazer a seguinte aproximação:

1 + ε x ≈ 1

Substituindo teremos que:

V ( % ) = 100 σ y - σ x 2 G 1

V ( % ) = 100 σ y - σ x 2 G

Passo 2

Para o problema 2.68 sabemos que as tensões são dadas por:

G = 39   G P a

σ y = 0

σ x = 200   k N 150   .     6,35   m m 2   =   0,210   G P a = 210   M P a

Substituindo na nossa equação teremos que:

V % = 100 0 - 0,210 2   .     39 = - 0,269 %

Para o problema 2.71 sabemos que as tensões são dadas por:

G = 77,2   G P a

σ y = 80   M P a = 0,08   G P a

σ x = 160   M P a = 0,16   G P a

Substituindo na nossa equação teremos que:

V % = 100 0,08 - 0 , 16 2   .     77,2 = - 0,0518 %

Resposta

  1. V ( % ) = 100 σ y - σ x 2 G
  2.   V % = - 0,269 % ( p r o b . 2.68 )

  3. V % = - 0,0518 % ( p r o b . 2 . 71 )
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