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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 76

Localize o centro de gravidade ( x - ,   y - , z - ) da montagem. Os blocos triangular e retangular são feitos de materiais com pesos específicos de 80   k N / m 3 e 32   k N / m 3 , respectivamente.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre o centro de gravidade no eixo ( x - ,   y - , z - ) , que fica no mesmo ponto do centro de massa, para isso a gente vai calcular separadamente o bloco retangular, o bloco triangular e o hemisfério que foi retirado do bloco retangular, e no final vamos calcular o x - , y - e z - do conjunto dele, assim:

x - = x - 1 ⋅ P 1 + x - 2 ⋅ P 2 - x - 3 ⋅ P 3 P + P 2 - P 3

y - = y - 1 ⋅ P 1 + y - 2 ⋅ P 2 - y - 3 ⋅ P 3 P 1 + P 2 - P 3

z - = z - 1 ⋅ P 1 + z - 2 ⋅ P 2 - z - 3 ⋅ P 3 P 1 + P 2 - P 3

Passo 2

Primeiro gente vai pegar os valores tabelados do centro de massa de um bloco retangular, um bloco triangular e de um bloco hemisférico, você pode achar eles na internet, mas também fica no final do livro, nele a gente encontra que o centro de massa do:

B .   R e t a n g u l a r → x - 1 = 22,5 + 22,5 2 ; y - 1 = 25 + 25 + 10 2 ; z - 1 = 30 2

B .   R e t a n g u l a r → 22,5 ; 30 ; 15   m m

Agora:

B .     T r i a n g u l a r → x - 2 = 22,5 + 22,5 3 ; y - 2 = 10 2 ; z - 2 = 30 3

B .     T r i a n g u l a r → 15 ; 5 ; 10   m m

E também:

B .     H e m i s f é r i c o → x - 3 = 10 + 10 2 ; y - 3 = 10 + 10 2 ; z - 3 = 3 ⋅ 10 8

B .     H e m i s f é r i c o → 1 0 ; 10 ; 3,75   m m

Confere lá no final do livro, mas se precisar de ajuda tem umas vídeo aulas bem legais aqui mesmo no Responde aí.

Agora, vamos calcular os x - , y - e z - na estrutura tendo como referência o ponto ( 0,0 , 0 ) :

G 1 = 22,5 + 0 ; 30 + 0 ; 15 + 0 = ( 22,5 ; 30 ; 15 )   m m

G 2 = 15 + 0 ; 5 + 0 ; 10 + 30 = ( 15 ; 5 ; 40 )   m m

G 3 = 22,5 ; 25 ; 30 - 3 , 75 = ( 22,5 ; 25 ; 26,25 )   m m

Passo 3

Agora, vamos calcular o peso dos três corpos, mas agora vamos começar calculando o volume de cada corpo que dividimos, tem a formula do volume deles também no final do livro junto com o centro de massa que é:

V 1 = a b h = 60 ⋅ 45 ⋅ 30 = 81000   m m 3

V 2 = 1 2 a b h = 1 2 10 ⋅ 45 ⋅ 30 = 6750   m m 3

V 3 = 2 3 π ⋅ r 3 = 2 3 π ⋅ 10 3 = 2094   m m 3

Lembra que a questão passou uns pesos específicos? Vamos usar ela agora para achar as massa, não precisa se preocupar com a unidade do peso porque ela não vai influenciar no resultado, pois é a proporção que importa, mas pode converver se achar melhor para não se confundir, mas vamos lá:

P 1 = 81000 ⋅ 80 = 6480000

P 2 = 6750 ⋅ 32 = 216000

P 3 = 2094 ⋅ 80 = 167520

Percebeu que eu usei no hemisfério o mesmo peso especifico do bloco retangular, é porque o hemisfério é uma parte que foi retirada do bloco retangular.

Então, agora vamos para o centro de gravidade resultante:

Vou usar de forma vetorial tipo ( x - , y - , z - ) para fazer os cálculos de uma vez:

G R = G 1 ⋅ P 1 + G 2 ⋅ P 2 - G 3 ⋅ P 3 P 1 + P 2 - P 3

G R = ( 22,5 ; 30 ; 15 ) ⋅ 6480000 + ( 15 ; 5 ; 40 ) ⋅ 216000 - ( 22,5 ; 25 ; 26,25 ) ⋅ 167520 6480000 + 216000 - 167520

G R = 21,2 ; 22,5 ; 19,2   m m

Resposta

G R = 21,2 ; 22,5 ; 19,2   m m

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