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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 35

Localize o centroide y - do sólido homogêneo formado girando-se a área sombreada em torno do eixo y .

Passo 1

Vamos pensar nesse cone dividido em vários discos fininhos a partir do vértice até a base dele.

O volume desse disquinho vai ser:

d V = π z 2 d y

Esse z vem do teorema de Pitágoras!

y 2 + z - a 2 = a 2

z = a - a 2 - y 2

Aí o voluminho vai ser:

d V = π a - a 2 - y 2 2 d y

d V = π 2 a 2 - y 2 - 2 a a 2 - y 2 d y

Passo 2

Pra achar o centroide a gente usa a formulinha decorada!

y - = ∫ y - d V ∫ d V

y - = ∫ 0 a y π 2 a 2 - y 2 - 2 a a 2 - y 2 d y ∫ 0 a π 2 a 2 - y 2 - 2 a a 2 - y 2 d y

y - = ∫ 0 a 2 a 2 y - y 3 - 2 a y a 2 - y 2 d y ∫ 0 a 2 a 2 - y 2 - 2 a a 2 - y 2 d y

Agora é só integrar essa bagaça aí!

y - = a 2 y 2 - y 4 4 + 2 a 3 a 2 - y 2 3 0 a 2 a 2 y - y 3 3 - a y a 2 - y 2 + a 2 a r c s e n y a 0 a

Passo 3

Substituindo os limites de integração, vamos obter:

y - = 1 12 a 4 10 - 3 π 6 a 3

y - = a 2 10 - 3 π  

Resposta

y - = a 2 10 - 3 π  

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3- Especifique as coordenadas x e z do centro de massa da casca semicilíndrica
Coloque seu lápis sobre a posição da sua melhor estimativa visual do centroide da área triangular. Verifique a posição horizontal da sua estimativa referindo-se aos resultados do Exemplo 5/2.
4- Especifique as coordenadas x , y e z do centro de massa do quadrante do cilindro sólido homogêneo.
6- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada:
Reduza as forças representadas na figura anterior a origem dos sistemas cartesianos indicados. Idem para as forças distribuídas mostradas na figura que se segue