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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 120

O mancal axial está sujeito a uma distribuição de pressão parabólica em sua superfície de contato. Se o coeficiente de atrito estático é μ s , determine o torque M necessário para superar o atrito e girar o eixo se ele suportar uma força axial P .

Passo 1

Vamos desenhar o diagrama de corpo livre dessa situação para entendermos a situação da nossa questão! Para a base do mancal, temos:

Passo 2

Essa questão não é tããão complicada, só precisamos ir com calma! Bom, o elemento diferencial de área pode ser escrito como d A = ( r d θ ) ( d r ) , levando a seguinte expressão para o diferencial da força P d P = p d A = p ( r d θ ) ( d r ) . Assim,

P = ∫ p d A = ∫ p o 1 - r 2 R 2 r d θ d r

P = p o ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 1 - r 2 R 2 d r

P = π R 2 p o 2 → p o = 2 P π R 2

Passo 3

O elemento diferencial da força normal que atua no mancal pode ser escrita como d N = p d A . Substituindo os valores dados na questão e encontrados no passo anterior, temos:

d N = p d A = p o 1 - r 2 R 2 r d θ d r

A expressão para p o nós encontramos no passo 2! Vamos subsitutir aqui:

d N = 2 P π R ² 1 - r 2 R 2 r d θ d r

Passo 4

O momento é o resultado de uma força atuando a uma determinada distãncia de um ponto de interesse, certo? No nosso caso, estmaos trabalhando com um diferencial de força de atrito a uma distância r do eixo do mancal axial. A equação para o momento fica da seguinte maneira:

M = ∫ r d F = ∫ μ s r d N

M = 2 μ s P π R 2 ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 R r 2 1 - r 2 R 2 d r

O nos resulta em:

M = 8 15 μ s P R

Resposta

O torque M necessário para superar o atrito e girar o eixo é:

M = 8 15 μ s P R

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