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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 121

A manivela AB gira com uma velocidade angular ω A B = 6   r a d / s e uma aceleração angular α A B = 2   r a d / s 2 . Determine a aceleração de C e a aceleração angular de BC no instante mostrado.

Passo 1

Começaremos o exercício analisando o centro de velocidade instantâneo nulo e as velocidades nos pontos B e C:

r C / C I = 0,5 c o s 30 ° → r C / C I = 0,433   m

r B / C I = 0,5 s e n 30 ° → r B / C I = 0,25   m

Agora iremos encontrar a velocidade no ponto B:

v B = ω A B r B = 6 0,3 → v B = 1,8   m / s

Sendo assim, podemos encontrar a velocidade angular do braço BC:

ω B C = v B r B / C I = 1,8 0,25 → ω B C = 7,2   r a d / s

E por fim, a velocidade no ponto C:

v C = ω B C r C / C I = 7,2 0,433 → v C = 3,118   m / s

Passo 2

Antes de aplicarmos a equação da aceleração, podemos encontrar a aceleração normal no ponto C, uma vez que ele viaja ao longo da trajetória circular, sendo assim:

a C n = v C 2 ρ   = 3,118 2 0,1 5 → a C n = 64,8   m / s 2

Agora podemos aplicar a equação da aceleração entre o ponto A e B, sabendo que o ponto A é fixo, temos:

a → B = α A B × r → B - ω A B 2 r → B

a → B = - 2 k → × 0,3 j → - 6 2 0,3 j →

a → B = 0,6 i → - 10,8 j →   m / s 2

Passo 3

Agora iremos aplicar a equação da aceleração entre os pontos B e C:

a → C = a → B + α B C × r → C / B - ω B C 2 r → C / B

64,8 i → - a C t j → = 0,6 i → - 10,8 j → + α B C k → × 0,5 c o s 30 ° i → - 0,5 s e n 30 ° j → - 7,2 2 ( 0,5 c o s 30 ° i → - 0,5 s e n 30 ° j → )

64,8 i → - a C t j → = - 0,25 α B C - 21,85 i → + ( 2,16 + 0,433 α B C ) j →

Agora igualando as componentes i e j:

64,8 = - 0,25 α B C - 21,85 → α B C = - 346,6   r a d / s 2     ( ↺ )

- a C t = 2,16 + 0,433 α B C = 2,16 + 0,433 ( - 346,6 )

a C t = - 152,2   m / s 2     ( ↑ )

Sendo assim, o módulo da aceleração em C é:

a C = a C t 2 + a C n 2 = 152,24 2 + 64,7 2

a C = 165   m / s 2

E a sua direção é dada por:

θ = t g - 1 a C t a C n = t g - 1 152,24 64,8 → θ = 66,9 °

Resposta

α B C = 346,6   r a d / s 2     ( ↺ )

a C = 165   m / s 2

θ = 66,9 °   ( ↗ )

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