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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 34

Se o anel em A no Problema 20.33 tem uma aceleração a A = - 2 k   m / s 2 no instante que sua velocidade é v A = - 3 k   m / s , determine a aceleração do anel em B nesse instante. Suponha que a velocidade angular e a aceleração angular são perpendiculares à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a aceleração do anel B .

Vamos às analises:

r B / A = 2 j - 1 k

α A B = α A B x i + α A B y j + α A B z k

a A = - 2 k   m / s 2

a B = - 0,6 a B i + 0,8 a B j

Do exercício anterior, sabemos que ω A B = 1 , 5 i + 0,225 j + 0,45 k   r a d / s .

Temos então que:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

- 0,6 a B i + 0,8 a B j = - 2 k + α A B x i + α A B y j + α A B z k × 2 j - 1 k + 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × ( 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × 2 j - 1 k )

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Vamos encontrar cada termo da equação de a B , para melhorar a organização dos cálculos:

a B = a A + α A B × r B / A + ω A B × ( ω A B × r B / A )

- 0,6 a B i + 0,8 a B j = - 2 k + α A B x i + α A B y j + α A B z k × 2 j - 1 k + 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × ( 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × 2 j - 1 k )

α A B × r B / A = α A B x i + α A B y j + α A B z k × 2 j - 1 k

α A B × r B / A = i j k α A B x α A B y α A B z 0 2 - 1

α A B × r B / A = - 1 α A B y i + 0 α A B z j + 2 α A B x k - 2 α A B z i - 1 α A B x j + 0 α A B y k

α A B × r B / A = - 1 α A B y - 2 α A B z i + α A B x j + 2 α A B x k

ω A B × r B / A = 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × 2 j - 1 k

ω A B × r B / A = i j k 1,5 0,225 0,45 0 2 - 1

ω A B × r B / A = - 1 ( 0,225 ) i + 0 ( 0,45 ) j + 2 ( 1,5 ) k - 2 ( 0,45 ) i - 1 ( 1,5 ) j + 0 ( 0,225 ) k

ω A B × r B / A = - 1 , 12 5 i + 1,5 j + 3 k

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = 1,5 i + 0,225 j + 0,45 k × - 1,125 i + 1,5 j + 3 k  

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = i j k 1,5 0,225 0,45 - 1,125 1,5 3

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = = 3 ( 0,225 ) i - 1 , 12 5 ( 0,45 ) j + 1,5 ( 1,5 ) k - 1,5 0,45 i + 3 ( 1,5 ) j - 1 , 12 5 ( 0,225 ) k

ω A B × ( ω A B × r B / A ) = 0 i + - 5 , 00625 j + 2 , 503125 k

Juntando tudo temos:

- 0,6 a B i + 0,8 a B j = - 2 k + - 1 α A B y - 2 α A B z i + α A B x j + 2 α A B x k + - 5,00625 j + 2,503125 k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

- 0,6 a B i = - 1 α A B y - 2 α A B z i

0,8 a B j = α A B x j + - 5,00625 j

0 = - 2 k + 2 α A B x k + 2,503125 k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

α A B ⋅ r B / A = 0

α A B x i + α A B y j + α A B z k ⋅ 2 j - 1 k = 0

0 α A B x + 2 α A B y - 1 α A B z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

α A B x = - 0,2515   r a d / s 2

α A B y = 0,2516   r a d / s 2

α A B z = - 2,097   r a d / s 2

a B = - 6,57   m / s 2

Resposta

a B = - 6,57   m / s 2

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