Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 63

Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha de energia de distorção em termos de σ x , σ y , τ x y .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos lá resolver esse problema?

A equação 10.30 nos fornece a expressão da teoria da falha de energia de distorção:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ e 2

O problema pede que expressemos essa teoria em termos de σ x , σ y , τ x y .

Vamos então usar a equação das tensões principais e adequá-la a fim de substituir na expressão da teoria da falha de energia de distorção.

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Passo 2

Começaremos separando a equação em duas partes:

a = σ x + σ y 2

b = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Dessa forma:

σ 1 = a + b

σ 2 = a - b

Adequando aos termos da expressão da teoria da falha, temos:

σ 1 2 = a 2 + b 2 + 2 a b

σ 2 2 = a 2 + b 2 - 2 a b

σ 1 σ 2 = a 2 - b 2

Passo 3

Fazemos então a substituição:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ e 2

( a 2 + b 2 + 2 a b ) - ( a 2 - b 2 ) + ( a 2 + b 2 - 2 a b ) = σ e 2

a 2 + b 2 + 2 a b - a 2 + b 2 + a 2 + b 2 - 2 a b = σ e 2

3 b 2 + a 2 = σ e 2

Passo 4

Agora é só substituir a e b pelos seus devidos valores e encontraremos a expressão em termos de σ x , σ y , τ x y .

3 σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 1 2 2 + σ x + σ y 2 2 = σ e 2

3 σ x - σ y 2 4 + 3 τ x y 2 + σ x + σ y 2 4 = σ e 2

σ x 2 + σ y 2 - σ x σ y + 3 τ x y 2 = σ e 2

Resposta

σ x 2 + σ y 2 - σ x σ y + 3 τ x y 2 = σ e 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A - 36 são mostradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria da energia de d
As componentes do estado plano de tensão em um ponto crítico de uma carcaça de aço estrutural A - 36 são mostradas na figura. Determine se ocorreu falha (escoamento) com base na teoria de cisalhamento
A tensão de escoamento para uma liga de urânio é σ e = 160M P a . Se uma peça de máquina for fabricada com esse material e um ponto crítico no material for submetido ao estado plano de tensão de modo
O estado de tensão que age sobre um ponto crítico em um elemento de máquina é mostrado na figura. Determine a menor tensão de escoamento para um aço que possa ser selecionado para a fabricação da peça