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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 64

Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha da tensão de cisalhamento máxima em termos de σ x , σ y , τ x y . Considere que as tensões principais têm sinais algébricos diferentes.

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos lá resolver esse problema?

A equação da teoria da falha da tensão de cisalhamento máxima considerando que as tensões principais têm sinais opostos (Eq. 10.27 ) é dada por:

σ 1 - σ 2 = σ e

O problema pede que expressemos essa teoria em termos de σ x , σ y , τ x y .

Vamos então usar a equação das tensões principais e adequá-la a fim de substituir na expressão da teoria da falha da tensão de cisalhamento máxima.

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Passo 2

Começaremos separando a equação em duas partes:

a = σ x + σ y 2

b = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Dessa forma:

σ 1 = a + b

σ 2 = a - b

Substituindo na expressão da teoria, temos:

σ 1 - σ 2 = σ e

( a + b ) - ( a - b ) = σ e

a + b - a + b = σ e

2 b = σ e

Passo 3

Agora é só fazer a substituição de b pela expressão equivalente a ele.

2 b = σ e

2 σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 1 2 = σ e

σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = σ e 2 4

4 ( σ x - σ y ) 4 2 + τ x y 2 = σ e 2

σ x - σ y 2 + 4 τ x y 2 = σ e 2

Resposta

σ x - σ y 2 + 4 τ x y 2 = σ e 2

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