Os membros AC e AB suportam a caixa de 100 kg. Determine a força de tração desenvolvida em cada membro.

Passo 1

Cara, ele quer a tração em cada cabo. A gente pode achar isso usando as equações de equilíbrio no ponto A, já que esse ponto está paradinho.

Vamos fazer o diagrama de corpo livre do nó A , para calcularmos as intensidades das forças nos cabos BC e BD:

Passo 2

Precisamos descobrir o valor desses ângulos. Podemos descobrir α e β usando as relações trigonométricas:

t a n g e n t e = c a t e t o   o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e

Olha na figura, o ângulo β tem como cateto oposto o segmento de 0,9   m e como cateto adjacente, o segmento de 1,2 :

tg ⁡ β = 0,9 1,2

tag ⁡ β = 3 4

β = a r c t g 3 4

β = 36,9 °

Aqui você também poderia perceber que esse triângulo que contem esse ângulo é proporcional ao triângulo 3/4/5. Aí fica a seu critério mesmo.

Já para o ângulo α , ambos os catetos valem 1,2 :

tg ⁡ α = 1,2 1,2

α = 45 °

E o peso da caixa é igual à sua massa vezes a gravidade:

P c a i x a = m c a i x a ⋅ g

P c a i x a = 100 ⋅ 9,81

P c a i x a = 981   N

Passo 3

A soma de forças em x e em y deve ser zero.

Vamos decompor primeiro as forças em x :

∑ F x = 0

Como os ângulos que a gente definiu estão opostos ao eixo x , ao decompor as forças, as multiplicamos pelo seno de cada ângulo. Repara também que T A C vai estar no sentido negativo de x :

T A B sen ⁡ α - T A C sen ⁡ β = 0

T A B sen ⁡ 45 ° - T A C sen ⁡ 36,9 ° = 0

T A B = T A C sen ⁡ 36,9 ° sen ⁡ 45 °

Passo 4

Agora vamos decompor as forças em y :

∑ F y = 0

Aqui usamos cosseno para decompor as forças porque os ângulos estão colados em y . E vemos também que não precisamos decompor a força peso.

T A C cos ⁡ β + T A B cos ⁡ α - P c a i x a = 0

Sabemos o valor de α , de β , de P c a i x a e de T A B , vamos substituir tudo na equação:

T A C cos ⁡ 36,9 ° + T A C sen ⁡ 36,9 ° sen ⁡ 45 ° cos ⁡ 45 ° - 981 = 0

Repara que apareceu ali cosseno de 45 sobre seno de 45. Cosseno sobre o seno é igual a um sobre a tangente:

c o s s e n o s e n o = 1 t a n g e n t e

Então

T A C cos ⁡ 36,9 ° + T A C sen ⁡ 36,9 ° tg ⁡ 45 ° - 981 = 0

T A C cos ⁡ 36,9 ° + T A C sen ⁡ 36,9 ° tg ⁡ 45 ° = 981

T A C cos ⁡ 36,9 ° + sen ⁡ 36,9 ° tg ⁡ 45 ° = 981

É só a gente calcular esses valores das funções trigonométricas e isolar T A C para achar:

T A C = 700   N

Passo 5

Agora que temos T A C vamos usar a equação que achamos no Passo 3 para descobrir T A B

T A B = T A C sen ⁡ 36,9 ° sen ⁡ 45 °

T A B = 700 sen ⁡ 36,9 ° sen ⁡ 45 °

T A B = 594   k N

Resposta

T A B = 594   k N

T A C = 700   N

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