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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 147

Um modelo simplificado de uma máquina de lavar é mostrada na figura. Uma trouxa de roupa molhada forma uma massa m b de 10 kg na máquina e causa um desbalanceamento rotativo. A massa rotativa é 20 kg (incluindo m b ) e o raio da cesta de lavar e é 25 cm. Sabendo que a máquina de lavar tem uma constante de mola equivalente a k = 1.000 N/m e fator de amortecimento ζ = c / c c = 0,05, e duranteo ciclo de centrifugação a cesta gira 250 rpm, determine a amplitude do movimento e a intensidade da força transmitida para os lados da máquina de lavar.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha???

Frequência circular forçada: ω ƒ = ( 2 π ) ( 250 ) 60 = 26.18     r a d / s

Massa do sistema: m = 20   K g

Spring costant: k = 1000   N / m

Frequência circular natural: ω n = k m = 1000 20 = 7.0711   r a d / s

Constante de amortecimento crítica:

c c = 2   k m = 2 ( 1000 ) ( 20 ) = 282.84   N ∙ s / m

Passo 2

Amortecimento constante:

c = c c c c = 0.05 141.42 = 14.1421   N ∙ s / m

Força de desequilíbrio: P m = m b   e   ω ƒ 2

P m = 10   K g 0.25 m 26.18 r a d s 2 = 1713   N

A equação diferencial de movimento é

m x ¨ + c x ˙ + k x = P m sin ⁡ ω ƒ t

A resposta de estado estacionário é x = x m sin ⁡ ( ω ƒ t - φ )

x ˙ = ω ƒ   x m cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

Onde x m = P m k - M ω ƒ 2 + ( c ω ƒ ) ²

= 1713.48 1000 - 20 26.18 2 2 + 141421 26.18 2

= 1713.48 - 12,707.8 2 + ( 370.24 ) ² = 1713.48 12,713.2 = 0.13,478

(a) Amplitude de vibração: x = 0.13478 sin ⁡ ω ƒ t - φ

x ˙ = ( 26.18 ) ( 0.13478 )   cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

= 3.5285 cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

Força da primavera: k x = ( 1000 ) ( 0.13478 )   sin ⁡ ( ω ƒ t - φ )

= 134.78   sin ⁡ ( ω ƒ t - φ )

Força de amortecimento: c x ˙ = ( 14.1421 ) ( 3.5285 )   cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

= 49.901   cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

Passo 3

(b)Força total: F = 134.78   sin ⁡ ( ω ƒ t - φ ) + 49.901 cos ⁡ ( ω ƒ t - φ )

Deixei F = F m = cos ⁡ ψ sin ⁡ ω ƒ t - φ + F m   sin ⁡ φ sin ⁡ ω ƒ t - φ

= F m   sin ⁡ ω ƒ t - φ + ψ

Força máxima: F m 2 = F m 2 cos ⁡ ² ψ + F m 2 sin ⁡ ² ψ

= 134.78 2 + 49.901 2 = 20,656

Resposta

a) x m = 134.8   m m

b) F m = 143.7   N

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