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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 148

Um elemento de máquina é suportado por molas e está ligado a umamortecedor como mostrado na figura. Mostre que, se uma força periódica de intensidade P = P m   s e n   ω ƒ t ,   é aplicada ao elemento, a amplitude da força oscilante transmitida à fundação é

F m = P m 1 + [ 2 ( c / c c ) ( ω ƒ / ω n ) ] ² [ 1 - ( ω ƒ / ω n ) ² ] ² + [ 2 ( c / c c ) ( ω ƒ / ω n ) ] ²

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha???

Pela equação, o movimento da máquina é x = x m sin ⁡ ω ƒ t - ∅

A força transmitida à fundação é,

Springs: F s = k x = k x m sin ⁡ ω ƒ t - ∅

Dashpot: F D = c x ˙ = c x m ω ƒ cos ⁡ ω ƒ t - ∅

F T = x m = [ k   sin ⁡ ω ƒ t - ∅ + c ω ƒ cos ⁡ ( ω ƒ t - ∅ )

Temos que,

sin ⁡ y + B cos ⁡ y = A 2 + B ² sin ⁡ ( y + ∅ )

sin ⁡ ψ = B A 2 + B ²

cos ⁡ ψ = A A 2 + B ²

F T = [ x m k 2 + ( c ω ƒ ) ² ]   sin ⁡ ( ω ƒ t - ∅ + ψ )

Passo 2

Assim, a amplitude de F T é, F m = x m k 2 + ( c ω ƒ ) ² ]  

Da equação x m = P m k 1 - ω ƒ ω n 2 2 + 2 c c c ω ƒ ω n ²

Substituindo por x m na equação: F m = P m 1 + c ω ƒ k 1 - ω ƒ ω n 2 2 + 2 c c c ω ƒ ω n

ω n 2 = k m

E a equação: c c = 2   m   ω n

m = c ω n 2

c ω ƒ k = c ω ƒ m ω n 2 = 2 c c c ω ƒ ω n

Substituindo na equação

F m = P m 1 + 2 c c c ω ƒ ω n ² 1 - ω ƒ ω n 2 2 + 2 c c c ω ƒ ω n ²

Resposta

F m = P m 1 + 2 c c c ω ƒ ω n ² 1 - ω ƒ ω n 2 2 + 2 c c c ω ƒ ω n ²

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