Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 88
Um módulo de excursão lunar foi usado nas missões Apollo de descida na Lua para poupar combustível, tornando desnecessário lançar toda a espaçonave da superfície da Lua na viagem de retorno a Terra. Verifique a eficácia dessa abordagem calculando a energia por quilograma necessária para uma espaçonave escapar do campo gravitacional da Lua, caso a espaçonave parta da superfície da Lua, de uma órbita circular a acima da superfície da Lua. Despreze o efeito do campo gravitacional da Terra. (O raio da Lua é de e sua massa é vezes a massa da Terra.)
Passo 1
Fala, galera. Beleza? Bora para mais um exercício de Dinâmica. Primeiro, vamos assumir que a uma distância infinita da lua, ou seja, , logo:
Portanto, a energia total vai ser:
Com isso, podemos calcular a energia por quilograma necessária para uma espaçonave escapar do campo gravitacional da Lua, caso a espaçonave parta da superfície da Lua. Temos:
Assim, a energia potencial gravitacional vai ser:
E a energia total do campo gravitacional da lua é dado por:
O problema nos informou que o raio da lua é e que:
Substituindo:
Como queremos a energia em função da massa, temos que a massa da terra é dada por:
Substituindo:
Por fim, a energia necessária para que a espaçonave parta da superfície lunar vai ser dada pela variação de energia, ou seja:
Passo 2
Em seguida, para a decolagem de uma órbita à da lua, temos:
Pela segunda lei de Newton, temos:
E a energia cinética vai ser:
E a energia potencial gravitacional:
Com isso, a energia total pode ser encontrada pela seguinte relação:
Novamente, como queremos a energia em função da massa, temos que a massa da terra é dada por:
Substituindo:
Por fim, a energia necessária para que a espaçonave parta da superfície lunar vai ser dada pela variação de energia, ou seja:
É isso, galerinha. Bora praticar mais!