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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 147b

O momento M atua em um plano vertical e está aplicado a uma viga orientada como mostrado. Determinar: (b) a máxima tensão de tração na viga.

Passo 1

Problemas deste tipo serão resolvidos utilizando o seguinte passo-a-passo:

  1. Calcular os momentos de inércia do corpo em relação a cada eixo.
  2. Medir a distância do ponto que estamos analisando ao eixo.
  3. Decompor o momento em cada eixo.
  4. Aplicar a equação que relaciona tensão normal com momento fletor, que esta mostrada abaixo:

O problema pede o maior momento fletor permissível, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre o eixo e o ponto da peça.

Passo 2

Então vamos seguir nosso passo-a-passo e calcular o momento de inércia desse corpo para os dois eixos y e z . Primeiro para o eixo z

I z = 1 36 ⋅ b h ³

I z = 1 36 ⋅ 50 × 10 - 3 ⋅ ( 90 × 10 - 3 ) ³

I z = 1,0125 × 10 - 6   m 4

Para o eixo y

I y = 2 × 1 12 ⋅ b h 3

I y = 2 × 1 12 ⋅ 90 × 10 - 3 ⋅ 25 × 10 - 3 3

I y = 2,344 × 10 - 7   m 4

Passo 3

Medir as distâncias:

y A = 2 3 ⋅ 9 0 = 60   m m

y D = y B = - 1 3 ⋅ 90 = - 30   m m

z A = 0   m m

z D = - z B = 25   m m

Passo 4

Agora vamos decompor o momento nos eixos y e z :

M y = M ⋅ s e n ( 20 ° )

M y = 750 ⋅ 0 , 342 = 256,51   N ⋅ m

M z = M ⋅ c o s ⁡ ( 20 ° )

M z = 750 ⋅ 0,9396 = 704,77   N ⋅ m

Passo 5

Finalmente aplicar a equação do momento fletor:

σ = M ⋅ c I

Mas aqui temos de lembrar que existem dois momentos, um em cada eixo, então a nova tensão será calculada considerando os dois eixos. Como o ponto que oferece a maior tensão de tração é o ponto que resultará no maior σ positivo, então vamos ter o ponto A ou o ponto D :

σ A = M z ⋅ y A I z + M y ⋅ z A I y

Substituindo os valores:

σ A = 704,77     ⋅ 0,0 6 1,0125 × 10 - 6

σ A = 41,76   M P a

Para D

σ D = M z ⋅ y D I z + M y ⋅ z D I y

σ D = 704,77 ⋅ - 0,030 1,0125 × 10 - 6 + 256,51 ⋅ 0,025 2,344 × 10 - 7

σ D = - 20,88 + 27,36 = 6,48   M P a

Logo,

σ A = 41,76   M P a

Resposta

σ A = 41,76   M P a

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