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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 149

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar a tensão no ponto A .

Passo 1

Para resoluções de questões deste tipo temos de desenhar o ciclo de Mohr, para determinar os eixos principais e os correspondentes momentos de inércia. Depois vamos Decompor o momento M na direção destes eixos e finalmente calcular a tensão. Ou seja, vamos seguir o seguinte passo-a-passo:

  1. Desenhar o ciclo de Mohr.
  2. Achar os eixos principais.
  3. Decompor o momento sobre estes eixos.
  4. Achar os pontos u e v relativos ao novo eixo.
  5. Calcular a tensão com relação aos novos eixos.

Passo 2

Desenhar o ciclo de Mohr, nós temos a forma geral:

Os momentos do inércia já foram dados então precisamos calcular o ângulo 2 θ m da seguinte forma:

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

E calculamos também o raio R da forma:

R 2 = E F 2 + ( F Z ) ²

Assim como o I m é d i o

I m é d i o = I y + I z 2

Show de bola! Agora é só substituir os valores que a gente tem na nossa questão:

I m é d i o = 4500 + 6700 2 = 5600   m m 4 = 5,6 × 10 - 9   m 4

Calculando o ângulo 2 θ m

t g ( 2 θ m ) = F Z E F

t g ( 2 θ m ) = 4230 6700 - 5600

t g ( 2 θ m ) = 4230 1100

t g ( 2 θ m ) = 3,845

2 θ m = 75,42 °

Logo

θ m = 75,42 ° 2 = 37,71 °

Achando o raio R :

R 2 = E F 2 + ( F Z ) ²

R 2 = 1100 2 + ( 4230 ) ²

R 2 = 19102900

R = 19102900 = 4370,69   m m 4 = 4,37069 × 10 - 9   m 4

Passo 3

Agora vamos achar os eixos principais, essa parte é mais tranquila do que a anterior e consiste basicamente em achar os pontos U e V :

I u = I m é d i o + R

I u = 5600 - 4370,69 = 1229,31   m m 4 = 1,229 × 10 - 9   m 4

I v = I m é d i o + R

I v = 5600 + 4370,69 = 9970,69   m m 4 = 9,971 × 10 - 9   m 4

Podemos observar que:

I m á x = I v = 9,971 × 10 - 9   m 4

I m í n = I u = 1,229 × 10 - 9   m 4

Passo 4

Agora vamos decompor o momento M sobre estes eixos ( U e V ) que acabamos de encontar. Note que o novo eixo ficará da seguinte forma.

M u = M ⋅ s e n ( θ m )

M u = 1,2 ⋅ s e n 37,71 ° = 0,734 k N ⋅ m

M v = M ⋅ c o s ( θ m )

M v = 1,2 ⋅ c o s 37,71 ° = 0,949     k N ⋅ m

Passo 5

Já os novos pontos nós vamos achar de forma parecida, como mostrado, de forma genérica, abaixo:

u A = y A ⋅ c o s ( θ m ) + z A ⋅ s e n ( θ m )

u A = 50 ⋅ c o s ( 37,71 ° ) + 75 ⋅ s e n ( 37,71 ° )

u A = 39,56 + 45,87 = 85,43   m m

v A = - y A ⋅ s e n ( θ m ) + z A ⋅ c o s ( θ m )

v A = - 50 ⋅ s e n ( 37,71 ° ) + 75 ⋅ c o s ( 37,71 ° )

v A = - 30,58 + 59,33 = 28,75   m m

Passo 6

Calcular a tensão relativa aos eixos u e v

σ A = M u ⋅ v A I u - M v ⋅ u A I v

σ A = 734   ⋅ 0,02875 1,229 × 10 - 9 - 949   ⋅ 0,08543 9,971 × 10 - 9

σ A = 17170 - 8130 =   9039   M P a

Observação final:

Repare que aqui a resposta deu muito acima do convencional (na ordem de 20 até 200 MPa), muito provavelmente isso aconteceu devido aos momentos de inércia muito pequenos fornecidos pelo problema, o que parece ter sido um erro de digitação.

Se considerarmos que os momentos de inércia corretos são:

  • I y = 4,5 × 10 - 6   m 4
  • I z = 6,7 × 10 - 6   m 4
  • I y z = 4,230 × 10 - 6   m 4

A resposta seria:

σ A = 9,04   M P a

O que é muito mais factível.

Resposta

σ A = 9,04   M P a

Obs: Ver a observação final do problema.

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