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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 106

Se o momento interno resultante que age na seção transversal da escora de alumínio tiver valor M = 520 N.m e for direcionado como mostra a figura, determine a tensão de flexão nos pontos A e B. A localização y do centróide C da área da seção transversal da escora deve ser determinada. Especifique, também, a orientação do eixo neutro.

Passo 1

Fala aí pessoal, vamos para mais um exercício de resmat! Precisamos achar a tensão nos pontos A e B dessa viga aí!

A ideia quando a gente tem uma seção simétrica mas o nosso momento não está em nenhum dos eixos de simetria é que a gente pode decompor o nosso momento em relação a esses eixos. Assim:

Onde

M z = - M   s e n   θ = - 12 13 M = - 12 13 520 = - 480   N ⋅ m

M y = M cos ⁡ θ = 5 13 M = 200   N ⋅ m

Aí é usar o prínicipio da superposição para achar a tensão máxima causada por esses dois momentos juntos, calculando as tensões causadas por cada um e somando tudo no final. Vem ver como fica!

Passo 2

Para começar, vamos determinar a posição do centroide da seção transversal. A gente pode dividir nossa seção e posicionar os eixos assim (só agora para achar o centroide):

Como 1 e 2 são iguais e tem o mesmo centroide em relação a y , a gente só calcula uma delas e multiplica o resultado por 2 ao colocar na fórmula:

y C G = ∑ A y C G ∑ A = 2 20 × 200 100 + ( 20 × 360 ) ( 190 ) 2 20 × 200 + ( 20 × 360 ) = 142,63   m m

E assim, o momento de inércia I y é dado por:

I y = 2 b h 3 12 + b h d 2 + b h 3 12 I y = 2 1 12 0,2 0,02 3 + 0,2 0,02 0,190 2 + 1 12 0,02 0,36 3 I y = 3,6683 × 10 - 4   m 4

Podemos repetir o processo para o eixo z . Temos:

I z = 2 b h 3 12 + b h d 2 + b h 3 12 + b h d 2 I z = 2 1 12 0,02 0,2 3 + 0,02 0,2 0,14263 - 0,1 2 + 1 12 0,36 0,02 3 + 0,36 0,02 0,190 - 0,14263 2 I z = 5,760 × 10 - 5   m 4

Passo 3

Vamos reparar em que quadrantes nossos momentos causam compressão. Isso vai ser útil na hora de escolher os sinais da nossa expressão para tensão.

Se a gente representar em azul a área que sofre tração e em amarelo a área que sofre compressão, para cada momento, temos algo assim:

O sinais das expressões devem ser escolhidos de forma que a soma dos efeitos dos nossos momentos causem compressão no ponto A , como mostra nosso esqueminha. Podemos fazer algo assim:

σ m á x = - M z y I z + M y z I y

Agora é calcular as tensões nos pontos dados.

σ A = - - 480 - 0,142632 5,76014 × 10 - 5 - 200 0,2 3,6682 × 10 - 4 = - 1,30   M P a

σ b = - - 480 0,2 - 0,142632 ) 5,76014 × 10 - 5 + 200 0,2 3,66812667 × 10 - 4 = 0,587 M P a

Passo 4

Para encontrarmos a orientação da linha neutra, temos:

tan ⁡ α = - 5 12

Onde α é o ângulo entre M e z .

Aí a fórmulinha para achar a orientação do eixo neutro é: tan ⁡ θ = I z I y tan ⁡ α θ = - 3,74 °

Resposta

σ A = - 1,30   M P a

σ b = 0,587 M P a

θ = - 3,74 °

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