Enunciado

Mostre que um torsor pode ser susbtituido por duas forças, uma das quais tem uma linha de ação prescrita.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos o seguinte arranjo:

Podemos escrever a direção da linha A A ' como:

λ A = λ x i + λ y j + λ z k

Podemos escrever as componentes A e B vetorialemente. Temos que:

A = A λ A

A = A λ x i + λ y j + λ z k

E:

B = B x i + B y j + B z k

Passo 2

Vamos calcular as forças pra o sistema equivalente:

∑ F x = 0

A λ x + B x = 0

∑ F y = 0

A λ y + B y = R

E:

∑ F z = 0

A λ z + B z = 0

Passo 3

Vamos calcular o momento na direção x :

∑ M x = 0

- z B y = 0

Agora em y :

∑ M y = 0

- a A λ z - x B z + z B x = M

Agora em z :

∑ M z = 0

a A λ y + x B y = 0

Passo 4

Já descobrimos que B y = 0 ou z = 0 , portanto, vamos testar primeiro para z = 0 :

Temos que:

a A λ y + x B y = 0

x = a A λ y B y

x = a R - B y B y

Portanto:

- a A λ z - a R - B y B y B z + 0 B x = M

A = 1 λ z M B y a R

E:

1 λ z M B y a R λ y + B y = R

B y = λ z a R 2 λ z a R - λ y M y

Logo:

A = 1 λ z M a R λ z a R 2 λ z a R - λ y M y

A = R λ y - a R M λ z

Substituindo o valor de A , temos:

B z = - A λ z

B z = - R λ y - a R M λ z λ z

E:

B x = - R λ y - a R M λ z λ x

Passo 5

Podemos dizer que:

A = R λ y - a R M λ z λ x i + λ y j + λ z k

E:

B = R a R λ z - λ y M M λ x i + a R λ y j - M λ z k

Passo 6

Agora vamos testar para B y = 0 :

A λ y + 0 = R

A = R λ y

Temos também que:

A λ x + B x = 0

B x = - R λ y λ x

E:

A λ z + B z = 0

B z = - R λ y λ z

Passo 7

Portanto:

A = A λ x i + λ y j + λ z k

A = R λ y   λ x i + λ y j + λ z k

E:

B = B x i + B y j + B z k

B = R λ y - λ x i - λ y k

Resposta

A = R λ y   λ x i + λ y j + λ z k

B = R λ y - λ x i - λ y k

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