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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 41

O motor A desenvolve potência de 300   W e gira a polia acoplada a 90   rev/minuto . Determine os diâmetros exigidos para os eixos de aço nas polias em A e B se a tensão de cisalhamento admissível for τ a d m = 85   MPa .

Passo 1

Cara, tá bem? Lembra o que o enunciado diz?

- motor transmite 300  W de potência sob frequência 90   rev/minuto a uma polia em A por meio de um eixo. A polia está ligada a outra em B .

- as tensões nos eixos das polias não podem ultrapassar τ a d m = 85   MPa . Vamos precisar da fórmula da torção:

τ = T   r J

Características do conjunto:

  • Diâmetro do eixo em A : d A . (Desconhecido!)
  • Diâmetro do eixo em B : d B . (Desconhecido!)
  • Momento polar de inércia do eixo em A : J = π d A 4 / 32 .
  • Momento polar de inércia do eixo em B : J = π d B 4 / 32 .
  • Raio da polia em A : r A = 60   mm .
  • Raio da polia em B : r B = 150   mm

Queremos saber quais diâmetros d A e d B os eixos devem ter para que a tensão neles não ultrapasse a tensão máxima τ a d m = 85   MPa !

Primeiro precisamos saber qual é o torque em cada eixo!

Passo 2

Na transmissão de potência, sabemos que o torque está relacionado à frequência da seguinte maneira:

P = 2 π T f

O eixo em A está diretamente ligado ao motor. Então vai receber a potência de 300   W em frequência 90   rev/minuto . Vamos ver qual é o torque T A :

300   W = 2 π ⋅ T A ⋅ 90 60   rev/s

T A = 31,8310   Nm

Beleza, agora vamos pensar para o caso do eixo em B . Essa interação de polias é um probleminha bem comum.

Passo 3

Para usar a fórmula do Passo 2 , precisamos saber a frequência f B com que a polia B gira! Não é a mesma que a polia A !

A correia que liga as polias se move a uma velocidade constante. É a velocidade tangencial v ! Essa aí é constante e igual nas duas polias. Se não, a correia iria enrolar, saca? O que muda entre elas é a velocidade angular em cada polia, porque depende do raio!

Começamos escrevendo o que falamos antes:

v A = v B

E lembramos que a velocidade na borda da polia ( v ) está relacionada à velocidade angular ( ω ) da seguinte maneira:

v = ω r

Então ficamos com:

v A = v B       →         ω A r A = ω B r B

Ótimo! E podemos colocar isso aí como uma relação de frequências:

ω = 2 π f       →         2 π f A r A = 2 π f B r B

f B = r A r B f A

Passo 4

Só substituir os dados agora:

f B = 60 150 ⋅ 90 60   rev/s

f B = 0,6   rev/s

Agora podemos achar T B .

P = 2 π T f       →         300   W = 2 π T B ⋅ 0,6   rev/s

T B = 79,5775   Nm

Passo 5

Podemos seguir com o que a questão quer. Primeiro para a polia em A , vamos ver que diâmetro pode aguentar a tensão admissível quando produzida pelo torque T A :

τ = T   r J       →         85   MPa = 31,8310   Nm ⋅   d A / 2   π d A 4 / 32

d A = 12,4   mm

Tranquilo! Para acabar, só falta fazer as contar para a polia em B usando T B :

τ = T   r J       →         85   MPa = 79,5775   Nm ⋅   d B / 2   π d B 4 / 32

d B = 16,8   mm

Uhul! Conseguimos!

Resposta

Diâmetro para o eixo em A : d A = 12,4   mm .

Diâmetro para o eixo em B : d B = 16,8   mm .

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