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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 35

Use a lei de Hooke, Equação 10.18, para desenvolver as equações de transformação da deformação, equações 10.5 e 10.6, a partir das equações de transformação de tensão, 9.1 e 9.2.

Passo 1

Fala aí galera. Essa questão é só substituição de fórmula, mas como é um problema literal, temos que tomar cuidado para não confundir as variáveis. Vamos primeiro pegar as equações da transformação de tensões:

σ x ' = σ x + σ y 2 + σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ + τ x y s e n 2 θ

σ y ' = σ x + σ y 2 - σ x - σ y 2 cos ⁡ 2 θ - τ x y s e n 2 θ

τ x ' y ' = σ x - σ y 2 s ⁡ e n 2 θ + τ x y c o s 2 θ

Como não temos os dados fornecidos, precisamos de outras equações para podermos substituir nestas. Sabemos que:

∈ x = σ x E - v σ y E

∈ y = σ y E - v σ x E

τ x y = G γ x y

G = E 2 1 + v

Como sabemos a fórmula da deformação:

∈ x ' = σ x ' E - v σ y ' E

Podemos substituir as equações nesta e fazer manipulações, até chegar em:

∈ x ' = ∈ x + ∈ y 2 + ∈ x - ∈ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y   2 s e n ( 2 θ )

Podemos aplicar para a deformação no plano o mesmo passo acima, logo:

τ x y = G γ x ' y '

Substituindo, teremos:

γ x ' y ' 2 = - ∈ x - ∈ y 2 s e n 2 θ + γ x y 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

Resposta

∈ x ' = ∈ x + ∈ y 2 + ∈ x - ∈ y 2 cos ⁡ 2 θ + γ x y   2 s e n ( 2 θ )

γ x ' y ' 2 = - ∈ x - ∈ y 2 s e n 2 θ + γ x y 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

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