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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 38

Um determinado lago é proposto como uma área de aterrissagem para grandes aviões a jato. A velocidade de aterrissagem de 160   k m / h no contato com a água deve ser reduzida para 30   k m / h em uma distância de 400   m . Se a desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade da aeronave através da água, a = - K v ² , encontre o valor do parâmetro de projeto K , que indica a proporção do tamanho e da forma das pás do trem de aterrissagem que sulcam através da água. Encontre também o tempo t decorrido durante o intervalo especificado.

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar uma relação entre a velocidade e a distância percorrida:

a = d v d t

a = d v d s d s d t = v d v d s

a   d s = v   d v

Subsituindo com a expressão da aceleração:

- K v 2   d s = v   d v

d s = - 1 K 1 v   d v

E integrando:

∫ 0 s d s = - 1 K ∫ v i v f 1 v   d v

E podemos sumir com aquele sinal de menos se invertemos os limites de integação à direita:

∫ 0 s d s = 1 K ∫ v f v i 1 v   d v

s = 1 K ln ⁡ v i v f

Passo 2

Agora podemos substituir os valores numéricos para obter o valor de K :

s = 1 K ln ⁡ v i v f

400 = 1 K ln ⁡ 160 30

K = 4,18.10 - 3   m - 1

Passo 3

O próximo passo é obter o tempo decorrido nesse processo todo. Vamos voltar na definição de aceleração:

a = d v d t

d t = d v a

E substituindo a expressão:

d t = d v - K v 2

∫ 0 t d t = - 1 K ∫ v i v f d v v 2

t = 1 K 1 v v f v i

t = 1 K 1 v f - 1 v i

E substituindo os valores numéricos (lembrando de converter as velocidades para m / s ):

t = 3,6 ( 4,18.10 - 3 ) 1 30 - 1 160 ≅ 23,3   s

Pronto!

Resposta

K ≅ 4,18.10 - 3   m - 1 e o tempo decorrido é t = 23,3   s .

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