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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 9

O movimento de uma partícula é descrito pela equação x = 5 sen 2t + 4 cos 2t, onde x é expresso em metros e t em segundos. Determine (a) o período do movimento, (b) sua amplitude, (c) seu ângulo de fase.

Passo 1

Fala ai pessoal tudo certinho? O exercício pede que a gente determine (a) o período do movimento, (b) sua amplitude, (c) seu ângulo de fase.

Em movimento harmônico simples,

x = x m sin ⁡ ω n t + ϕ

Fórmula de ângulo duplo (trigonometria):

sin ⁡ A + B = sin ⁡ A cos ⁡ B + sin ⁡ B cos ⁡ A

A = ω n t ,                 B = ϕ

x = x m sin ⁡ ω n t + ϕ

x = x m sin ⁡ ω n t cos ⁡ ϕ + x m sin ⁡ ϕ cos ⁡ ω n t

x = x m cos ⁡ ϕ sin ⁡ ω n t + x m sin ⁡ ϕ cos ⁡ ω n t

Passo 2

Retirando os Dados do enunciado temos:

x = 5 sin ⁡ 2 t + 4 cos ⁡ 2 t

ω n = 2                 x m cos ⁡ ϕ = 5

x m sin ⁡ ϕ = 4

Passo 3

  1. τ n = 2 π ω n = 2 π 2   rad/s = π   s

    τ = 3.14   s

    Passo 2

  2. Quadratura Eqs. (1) e (2) e adicionando,

    3. x m 2 cos 2 ϕ + x m 2 sin 2 ϕ = 4 2 + 5 2

    x m 2 c o s 2 ϕ + s i n 2 ϕ = x m 2 = 41   m 2

    x m = 6.40   m

    Passo 3

  3. Dividindo a Eq. (2) pela Eq. (1),

tan ⁡ ϕ = 4 5 = 38.7

Resposta

a )   τ = 3.14   s

b )   x m = 6.40   m

c )   ϕ = 38.7 °

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