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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 73

Em muitas situações, sabe-se que a tensão normal em determinada direção é zero, como, σ z = 0 , no caso da placa fina mostrada. Para esse caso, conhecido como estado plano de tensão, mostre que, se as deformações ϵ x     e     ϵ y foram determinadas experimentalmente, podemos expressar σ x   e   σ y   ϵ z da seguinte maneira:

σ x = E ε x + v ε y 1 - v 2                   σ y = E ε y + v ε x 1 - v 2                     ε z = v 1 - v   x   ε x + v ε y        

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha? Para determinarmos as tensões σ x   e   σ y   ϵ z dadas no enunciado, vamos anteriormente trazer essas informações para cá :D

σ x = E ε x + v ε y 1 - v 2                   σ y = E ε y + v ε x 1 - v 2                     ε z = v 1 - v   x   ε x + v ε y        

Considerando que:

σ z = 0

ε x = 1 E   (   σ x + v σ y )

ε y = 1 E   (   - v σ x + σ y )

Multiplicando (2) por v somando (1),

ε x + v ε y = 1 - v 2 E σ x         o u       σ x = E 1 - v 2 x   ( ε x + v ε y )

Multiplicando (1) por v somando (2),

ε y + v ε x = 1 - v 2 E σ y         o u       σ y = E 1 - v 2 x   ( ε y + v ε x )

ε z = 1 E x   – v σ x - v σ y = - v E   x   E 1 - v 2 x   ( ε x + v ε y + ε y + v ε x ) = - v   x   ( 1 + v ) 1 - v 2   x   ( ε x + ε y ) = - v 1 - v   x   ( ε x + ε y )  

Resposta

a )   σ x = E 1 - v 2 x   ( ε x + v ε y )

b )   σ y = E 1 - v 2 x   ( ε y + v ε x )

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