O ônibus espacial lança um satélite de 800   k g ejetando-o a partir do compartimento de carga como mostrado. O mecanismo de ejeção é ativado e permanece em contato com o satélite por 4   s para fornecer uma velocidade de 0,3   m / s na direção z em relação ao ônibus espacial. A massa do ônibus espacial é de 90   t . Determine a componente da velocidade v f do ônibus espacial no sentido negativo da direção z resultante da ejeção. Encontre também a média no tempo F m é d da força de ejeção.

Passo 1

Podemos considerar que o conjunto formado pelo satélite e pelo ônibus espacial é um sistema fechado, ou seja, o momento linear total desse conjunto tem que permanecer constante!

p i = p f

Além disso, precisamos ter cuidado porque a velocidade dada no enunciado ( 0,3   m / s ) é relativa entre o satélite e o ônibus.

0,3   z ^ = v → s a t - v → o n i

Passo 2

Agora vamos considerar a conservação de momento linear na direção z . Antes de o ônibus lançar o satélite não havia nenhum movimento nessa direção, então:

p i = 0

Em seguida, o satélite adquire uma velocidade v s a t e consequentemente o ônibus espacial adquire uma velocidade v o n i .

p → f = m s a t v → s a t + m o n i v → o n i

Onde estamos considerando o sentido positivo como vertical para cima (sentido positivo de z na figura). Então ficamos com um sistema de equações:

m s a t v → s a t + m o n i v → o n i = 0 0,3   z ^ = v → s a t - v → o n i

Passo 3

Então vamos resolver esse sistema. Primeiro precisamos substituir os valores numéricos:

m s a t v → s a t + m o n i v → o n i = 0 0,3   z ^ = v → s a t - v → o n i

Eliminando v → s a t entre as duas equações:

m s a t 0,3   z ^ + v → o n i + m o n i v → o n i = 0

v → o n i m s a t + m o n i = - 0,3   m s a t   z ^

E agora temos que projetar essa equação no eixo z , isso quer dizer que vamos fazer o produto escalar da equação pelo vetor unitário z ^ .

z ^ ∙ z ^ = 1

v → o n i ∙ z ^ = - v o n i

E esse último resultado é negativo porque o ônibus adquire velocidade vertical para baixo:

v o n i = 0,3   m s a t 800 + 90.10 3 = 0,00264   m / s

v o n i = 0,00264   m / s

Passo 4

E agora queremos calcular a força média de ejeção. Vamos aplicar o teorema do impulso sobre o ônibus espacial.

Essa força, realizada na vertical para cima sobre o satélite tem uma reação vertical para baixo sobre o ônibus, e faz sua velocidade ir de 0 até 0,00264   m / s , então:

∫ F   d t = ( 90.10 3 ) ( 0,00264 )

F = 90.10 3 0,00264 ( 4 ) ≅ 59,4   N

E esse é o módulo da média da força de ejeção.

Resposta

A velocidade do ônibus no sentido negativo é v = 0,00264   m / s e a força média da ejeção é 59,4   N .

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