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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 99

Um painel publicitário de 48 kg de comprimento 2a = 2,4m e largura 2b = 1,6m é mantido girando a uma taxa constante ω 1 em torno de seu eixo horizontal por um pequeno motor elétrico ligado em A ao quadro ACB. Este quadro em si é mantido girando a uma taxa constante ω 2 em torno de um eixo vertical por um segundo motor conectado em C à coluna CD. Sabendo que o painel e a moldura completam uma revolução completa em 6 s e 12 s, respectivamente, expressa, em função do ângulo θ, a reação dinâmica exercida na coluna CD pelo seu suporte em D.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine Sabendo que o painel e a moldura completam uma revolução completa em 6 s e 12 s, respectivamente, expressa, em função do ângulo θ, a reação dinâmica exercida na coluna CD pelo seu suporte em D.

Use eixos principais x’ e y’ como mostrado

Momentos de inércia

I - x ' = 1 3 m a 2 + b 2 I - y ' = 1 3 m a 2 , I - z ' = 1 3 m b 2

Cinemática θ ˙ = ω 1

ω x ' = ω 2 s i n ⁡ θ , ω y ' = ω 2 c o s ⁡ θ , ω z ' = ω 1 ω ˙ x ' = ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ , ω ˙ y ' = - ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ , ω ˙ z ' = 0

Uma vez que a aceleração do centro de massa é zero, a força resultante agindo na coluna CD é zero

R = 0

Passo 2

Equação de Euller para o movimento do plano

∑ M x = I - x ' ω ˙ x ' - I → y ' - I - z ω y ω z '

= I → x ' ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ - I → y ' - I - z ' ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ = I - x ' + I - z ' - I - y ' ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ

Σ M y ' = I - y ' ω ˙ y ' - I - z ' - I - x ' ω x ' ω z '

= - I - y ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ - l → z - I - x ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ = I x - I - y ' - I - z ' ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ = 0

∑ M z ' = I z ⋅ ω z ' - I - x ' - I - y ω x ω y '

= 0 - I → x ' - I → y ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

Σ M = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ i ' - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ k = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s ⁡ θ ( c o s ⁡ θ i + s i n ⁡ θ j ) - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ k

Passo 3

Resolva nos componentes

Σ M x = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 c o s 2 ⁡ θ Σ M y = 2 3 m b 2 ω 1 ω 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ Σ M z = - 1 3 m b 2 ω 2 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ

Dados

m = 48 k g , b = 0.8 m ω 1 = 2 π 6 = 1.0472 r a d / s , ω 2 = 2 π 12 = 0.5236 r a d / s

Σ M x = 2 3 ( 48 ) ( 0.8 ) 2 ( 1.0472 ) ( 0.5236 ) c o s 2 ⁡ θ = 11.23 c o s 2 ⁡ θ N ⋅ m

Σ M y = 2 3 ( 48 ) ( 0.8 ) 2 ( 1.0472 ) ( 0.5236 ) s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = 11.23 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ N ⋅ m

Σ M z = - 1 3 ( 48 ) ( 0.8 ) 2 ( 0.5236 ) 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ = - 2.81 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ N ⋅ m

M D = ( 11.23 N ⋅ m ) c o s 2 ⁡ θ i + ( 11.23 N ⋅ m ) s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j - ( 2.81 N ⋅ m ) s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ k

Resposta

R = 0

M D = ( 11.23 N ⋅ m ) c o s 2 ⁡ θ i + ( 11.23 N ⋅ m ) s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ j - ( 2.81 N ⋅ m ) s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ k

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