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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 58

Uma partícula que se desloca ao longo do eixo x é submetida a uma força de aceleração que aumenta linearmente com o tempo e uma força de desaceleração que aumenta diretamente com o deslocamento. A aceleração resultante é a = K t - k 2 x , onde K e k são constantes positivas e onde ambos x e v = x ˙ são zero quando o tempo t = 0 . Determine o deslocamento x como uma função de t .

Passo 1

Podemos reescrever a aceleração assim:

d 2 x d t 2 = K t - k 2 x

d 2 x d t 2 + k 2 x = K t

Porém, essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem, cuja solução geral é:

x ( t ) = A   s e n k t + B cos ⁡ k t + K k 2 t

onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 2

O problema nos diz que x 0 = 0 , então essas é uma das nossas condições iniciais. Vamos substituir esses dados na solução:

x 0 = A   s e n 0 + B cos ⁡ 0 + 0

0 = 0 + B

B = 0

Então já sabemos que:

x ( t ) = A   s e n k t + K k 2 t

Passo 3

Para achar o valor de A , vamos derivar a solução:

x ˙ t = A k cos ⁡ ( k t ) + K k 2

Vamos usar a outra condição inicial que o problema nos dá, x ˙ 0 = 0 :

x ˙ 0 = A k cos ⁡ ( 0 ) + K k 2

0 = A k + K k 2

A = - K k 3

Portanto, a solução final é:

x t = - K k 3 s e n k t + K k 2 t

Ou também:

x t = K k 3 k t - s e n k t

Resposta

x t = K k 3 k t - s e n k t

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