Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 47
Um projétil de teste é disparado horizontalmente em um líquido viscoso com uma velocidade de . A força de desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, de modo que a aceleração torna-se . Derive expressões para a distância percorrida no líquido e o correspondente tempo necessário para reduzir a velocidade para . Despreze qualquer movimento vertical.
Passo 1
Beleza, galera? A gente tem um projétil com uma velocidade inicial e que vai diminuindo sua velocidade devido à aceleração . Nossa missão aqui é achar qual a distância percorrida e o tempo necessário para que essa velocidade chegue a .
Pra isso, podemos começar mexendo na equação da aceleração:
Que tal reescrever a aceleração como derivada da velocidade?
Passo 2
Show! Obtivemos uma equação que só tem as variáveis e ( é uma constante). Então podemos separar as variáveis de cada lado, assim:
Ou seja, podemos integrar cada lado, com os limites de integração correspondentes:
Assim achamos o tempo em função da velocidade :
Passo 3
Beleza! Agora nos falta achar a distância em função da velocidade . Podemos usar a seguinte equação:
Mas usando a equação obtida no passo anterior, podemos deixar como função de :
Podemos então substituir:
Passo 4
Agora só falta integrar cada lado da equação. Lembre-se da seguinte integral:
Então, bora integrar!
Pronto! Achamos a distância em função do tempo !
Passo 5
Pra descobrir os valores que realmente queremos, vamos usar as duas equações que encontramos:
Substituindo na primeira, obtemos o tempo necessário para o projétil atingir essa velocidade:
E finalmente, substituindo esse valor de na segunda equação, obtemos a distância percorrida :