Um projétil de teste é disparado horizontalmente em um líquido viscoso com uma velocidade de v 0 . A força de desaceleração é proporcional ao quadrado da velocidade, de modo que a aceleração torna-se a = - k v 2 . Derive expressões para a distância D percorrida no líquido e o correspondente tempo t necessário para reduzir a velocidade para v 0 / 2 . Despreze qualquer movimento vertical.

Passo 1

Beleza, galera? A gente tem um projétil com uma velocidade inicial v 0 e que vai diminuindo sua velocidade devido à aceleração a = - k v 2 . Nossa missão aqui é achar qual a distância percorrida e o tempo necessário para que essa velocidade chegue a v 0 / 2 .

Pra isso, podemos começar mexendo na equação da aceleração:

a = - k v 2

Que tal reescrever a aceleração como derivada da velocidade?

d v d t = - k v 2

Passo 2

Show! Obtivemos uma equação que só tem as variáveis v e t ( k é uma constante). Então podemos separar as variáveis de cada lado, assim:

- 1 v 2   d v = k   d t

Ou seja, podemos integrar cada lado, com os limites de integração correspondentes:

∫ v 0 v - 1 v 2   d v = ∫ 0 t k d t

1 v v 0 v = k t 0 t

1 v - 1 v 0 = k t - 0

Assim achamos o tempo t em função da velocidade v :

t = 1 k 1 v - 1 v 0

Passo 3

Beleza! Agora nos falta achar a distância x em função da velocidade v . Podemos usar a seguinte equação:

d x d t = v

Mas usando a equação obtida no passo anterior, podemos deixar v como função de t :

1 v = k t + 1 v 0

v = v 0 v 0 k t + 1

Podemos então substituir:

d x d t = v 0 v 0 k t + 1

1 v 0   d x = 1 v 0 k t + 1   d t

Passo 4

Agora só falta integrar cada lado da equação. Lembre-se da seguinte integral:

∫ 1 A t + B   d t = 1 A ln ⁡ | A t + B | + C

Então, bora integrar!

1 v 0 ∫ 0 x d x = ∫ 0 t 1 v 0 k t + 1   d t

1 v 0 x - 0 = 1 v 0 k ln ⁡ v 0 k t + 1 0 t

x v 0 = 1 v 0 k ln ⁡ v 0 k t + 1 - ln ⁡ 0 + 1

x = 1 k ln ⁡ v 0 k t + 1

Pronto! Achamos a distância x em função do tempo t !

Passo 5

Pra descobrir os valores que realmente queremos, vamos usar as duas equações que encontramos:

t = 1 k 1 v - 1 v 0

x = 1 k ln ⁡ v 0 k t + 1

Substituindo v = v 0 / 2 na primeira, obtemos o tempo necessário t para o projétil atingir essa velocidade:

t = 1 k 1 v 0 / 2 - 1 v 0 = 1 k 2 v 0 - 1 v 0 = 1 k v 0

E finalmente, substituindo esse valor de t na segunda equação, obtemos a distância percorrida D :

D = 1 k ln ⁡ v 0 k 1 k v 0 + 1 = 1 k ln ⁡ 2 ≈ 0,693 k

Resposta

D = 0,693 k   ;           t = 1 k v 0

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