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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 75

Uma partícula desloca-se ao longo da trajetória circular x 2 + y 2 = r 2 . Se a componente y da velocidade da partícula é v y = 2 r c o s 2 t , determine as componentes x e y da sua aceleração em qualquer instante.

Passo 1

Podemos integrar a equação dada no enunciado para encontrar uma nova equação de posição:

d y = v y d t

∫ 0 y d y = ∫ 0 t 2 r   c o s 2 t   d t

y = r   s e n 2 t

Passo 2

Substiuímos agora o resultado encontrado ao final do passo 1 na equação da trajetória circuar dada no enunciado:

x 2 + r 2 s e n 2 2 t = r 2

x 2 = r 2 1 - s e n 2 2 t

x = ± r   c o s 2 t

Passo 3

Note que podemos determinar o componente x da velocidade da partícula calculando a primeira derivada de x :

v x = x ˙ = d y d x ± r   c o s 2 t = ± 2 r   s e n 2 t

Passo 4

Podemos repetir o processo de derivação com o valor encontrado da componente x da velocidade para determinar o valor da componente x da aceleração:

a x = v ̇ x = d y d x ± 2 r   s e n 2 t = ± 4 r   c o s 2 t

Derivamos a equação da componente y da velocidade para obter a componente y da aceleração:

a y = v ̇ y = d y d x 2 r   c o s 2 t = - 4 r   s e n 2 t

Resposta

A componente x da aceleração é a x = ± 4 r   c o s 2 t

A componente y da aceleração é a y = - 4 r   s e n 2 t  

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