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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 12

Uma partícula é lançada verticalmente para cima em um campo gravitacional constante com velocidade inicial v 0 . Demonstre que se existir uma força de retardo proporcional ao quadrado da velocidade instantânea, a velocidade da partícula ao retornar à posição inicial será:

v 0 v t v 0 2 + v t 2

Onde v t é a velocidade terminal.

Passo 1

E aí galeris, belezau? Essa questão é igualzinha a questão é bem semelhante a que fizemos antes. Vamos matá-la. Uiuiui

Da equação do movimento de Newton:

F = m a → m d 2 x d t 2 = - k m v 2 - m g

d 2 x d t 2 = - k v 2 - g

Mas...

d 2 x d t 2 = d v d t = d v d x ⋅ d x d t = d v d x v

Daí:

v d v k v 2 + g = - d x → x s u b i d a = 1 2 k ln ⁡ k v 0 2 + g k v 2 + g

Passo 2

Vamos refazer esses cálculos para o movimento de descida, quando o peso e a força resistiva apontam em sentidos opostos.

m d 2 x d t 2 = - k m v 2 + m g

De maneira totalmente análoga ao que fizemos antes:

x d e s c i d a = 1 2 k ln ⁡ g g - k v 2

Dessa equação podemos descobrir quem é a velocidade terminal, fazendo x → ∞

g = k v t 2 → v t = g k

Passo 3

Agora vamos descobrir qual a distância percorrida do ponto de lançamento até o ponto de máxima altura, onde v = 0

H m á x = x s u b i d a = 1 2 k ln ⁡ k v 0 2 + g g

Porém, essa distância é igual a distância percorrida na descida, desde o ponto de altura máxima até o ponto em q a partícula retorna à posição de chegada, quando sua velocidade será v , a velocidade que queremos encontrar, façamos então:

H m á x = x d e s c i d a → 1 2 k ln ⁡ k v 0 2 + g g = 1 2 k ln ⁡ g g - k v 2

g - k v 2 = g 2 k v 0 2 + g → k v 2 = g - g 2 k v 0 2 + g → k v 2 = k v 0 2 g k v 0 2 + g

v = v 0 2 g k v 0 2 + g = v 0 2 ⋅ g k v 0 2 + g k

v = v 0 2 v t 2 v 0 2 + v t 2

v = v 0 ⋅ v t v 0 2 + v t 2

Resposta

Demonstração