Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 79
Uma partícula move-se ao longo da trajetória com uma velocidade escalar constante de . Determine as componentes e da velocidade e aceleração quando a partícula está em .
Passo 1
Podemos encontrar uma relação entre os componentes e da velocidades da partícula calculando a primeira derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.
Ou podemos escrever da seguinte forma:
No ponto , podemos utilizar a equação da trajetória dada no enunciado da questão para encontrar o seguinte valor de
Assim, podemos substitui o valor de na equação das velocidades encontrada anteriormente:
Passo 2
Podemos representar a magnitude da velocidade da pela seguinte equação:
Substituimos e a nova equação encontrada no passo 1, temos:
Isolando nós encontramos o seguinte resultado:
Substituimos este resultado na equação encontrada no passo 1:
Passo 3
Assim como fizemos no passo 1, podemos encontrar uma relação entre os componentes e da aceleração da partícula calculando a segunda derivada da equação da trajetória da partícula. Para isso, usaremos a regra da cadeia no processo de derivação.
Ou podemos escrever da seguinte forma:
Passo 4
No ponto , concluímos nos passo 1 que , e . Substituímos esses valores na equação encontrada no passo 3:
Passo 5
no ponto
ponto
Formaremos um sistema com esta equação e a equação encontrada no passo 4. Resolvendo, encontramos:
e
Note que o sinal negativo indica que a direção da componente da aceleração é contrária a que foi estabelecida inicialmente.
Resposta
Velocidade:
A componente da velocidade da partícula é
A componente da velocidade da partícula é
Aceleração:
A componente da aceleração da partícula é
A componente da aceleração da partícula é