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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 91

Um pêndulo invertido constituído de uma esfera de peso W e umabarra rígida ABC de comprimento l e peso desprezível é suportadopor um pino e suporte em C. A mola de constante k está ligada auma barra em B e não está deformada quando a barra está na posiçãovertical mostrada na figura. Determine (a) a frequência de pequenasoscilações, (b) o menor valor de a para o qual ocorrerão oscilações.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine (a) a frequência de pequenas oscilações, (b) o menor valor de a para o qual ocorrerão oscilações

(a) Posição ①: T 1 = 1 2   m   ( l θ m ) ² ˙ = 1 2   m l ² θ m 2 ˙

V 1 = 0

Posição ②: T 2 = 0

V 2 = 1 2   k a sin ⁡ θ m 2 - W l ( 1 - cos ⁡ θ m )

Passo 2

Para pequenos ângulos, sin ⁡ θ m ≈ θ m

1 - cos ⁡ θ m = 2 sin ⁡ ² θ m 2  

≈ θ m 2 2

V 2 = 1 2   k a 2 θ m 2 2 - W l θ m 2 2 = 1 2   k a 2 - W l θ m 2

T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2   m l ² θ m 2 ˙ + 0 = + 1 2   [ k a 2 - W l ] θ m 2

θ m ˙ = ω n θ m

m = W g

W g   l 2 ω n 2   θ m 2 = k a 2 - W l

ω n 2 = k a ² W g l ² = g l   k a ² W l - 1

Passo 3

(b) ƒ n = 0

k a ² W l - 1 > 0

a > W l k

ƒ n = 1 2   π   ω n = 1 2   π   g l k a ² W l - 1  

Resposta

  1. ƒ n = 1 2   π   ω n = 1 2   π   g l k a ² W l - 1  

  2. a > W l k
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