Enunciado

O pêndulo invertido de massa me centro de massa G é sustentado pelas duas molas, cada uma de rigidez k. Se as molas estiverem igualmente esticadas quando o pêndulo estiver na posição vertical mostrada, determine as posições de equilíbrio estático e investigue a estabilidade do sistema em cada posição. Considere as molas suficientemente compridas para que permaneçam efetivamente na horizontal.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine as posições de equilíbrio estático e investigue a estabilidade do sistema em cada posição.

δ = c o m p r e s s ã o   i n i c i a l   d a   m o l a

V = V g + V e = m g L 2 c o s ⁡ θ

+ 1 2 k ( δ + h s i n ⁡ θ ) 2 + 1 2 k ( δ - L s i n ⁡ θ ) 2 = 1 2 m g L c o s ⁡ θ + k δ 2 + L 2 s i n 2 ⁡ θ

d V d θ = - 1 2 m g h s i n ⁡ θ + 2 k h 2 s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ d 2 V d θ 2 = - 1 2 m g h c o s ⁡ θ + 2 k L 2 c o s ⁡ z θ

Passo 2

Para equilíbrio d V d θ = 0 ,

- 1 2 m g + 2 k L c o s ⁡ θ s i n ⁡ θ = 0

θ = 0  ou  c o s ⁡ θ = m g 4 k L

Para θ = 0 , d 2 V d θ 2 = - 1 2 m g L + 2 k L 2

> 0 ( e s t á v e l )  se  2 k L 2 > 1 2 m g L

Então k m i n = m g 4 L

Resposta

k m i n = m g 4 L

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