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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 11.Problemas de Revisão - Ex. 08

A mola conectada ao mecanismo não tem deformação quando θ = 90 ° . Determine a posição θ para haver equilíbrio e investigue a estabilidade do mecanismo nessa posição. O disco A é conectado por pino à estrutura em B e tem massa de 10   k g . Despreze o peso das barras.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio e, posteriormente, avaliar a estabilidade para essa posição. Considerando que a mola tem rigidez k = 250   N / m e não está deformada quando θ = 90 ° . Além disso, a massa do disco A é 1 0   k g .

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

As distâncias x 1 , x 2 e h são dadas por:

h = 2 * 0,4 cos ⁡ θ

h = 0,8 cos ⁡ θ

x = 0,8 - 2 * 0,4 sen ⁡ θ

x = 0,8 - 0,8 sen ⁡ θ

E o peso W do bloco A :

W = 1 0 * 9,81

W = 98,1   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso do disco e a força exercida pela mola, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = - W h + 1 2 k x 2

V = - 98,1 * 0,8 cos ⁡ θ + 1 2 2 50 0,8 - 0,8 sen ⁡ θ 2

V = 80 sen 2 ⁡ θ - 160 sen ⁡ θ - 78,48 cos ⁡ θ + 80

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 80 sen 2 ⁡ θ - 160 sen ⁡ θ - 78,48 cos ⁡ θ + 80 = 0

160 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 160 cos ⁡ θ + 78,48 sen ⁡ θ = 0

Resolvendo essa expressão encontramos:

θ = 38,04 °

Passo 4

Até aqui tudo certo? Nós determinamos os valores de θ para os quais a estrutura está em equilíbrio. Para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 80 sen 2 ⁡ θ - 160 sen ⁡ θ - 78,48 cos ⁡ θ + 80

d 2 V d θ 2 = d d θ 160 sen ⁡ θ cos ⁡ θ - 160 cos ⁡ θ + 78,48 sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = 160 cos ⁡ 2 θ + 160 sen ⁡ θ + 78,48 cos ⁡ θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ = 38,04 ° :

d 2 V d θ 2 = 160 cos ⁡ 2 * 38,04 ° + 160 sen ⁡ 38,04 ° + 78,48 cos ⁡ 38,04 °

d 2 V d θ 2 = 198,89 > 0

Logo, para θ = 38,04 ° a estrutura está em equilíbrio e está estável.

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ = 38,04 °

E s t a v e l

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