Enunciado

O pêndulo simples de massa m e comprimento l é liberado a partir do repouso em θ = 0 . Utilizando apenas o principio do impulso angular e quantidade de movimento, determine a expressão para θ ¨   em termos de θ e a velocidade v do pêndulo em θ = 90 ° . Compare essa abordagem com uma solução pelo principio do trabalho-energia.

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos encontrar uma expressão para θ ¨   em termos de θ e a velocidade v do pêndulo em θ = 90 ° . Como a quantidade de movimento angular se conserva, temos que

∑ M 0 = H O ˙

Passo 2

Substituindo na expressão, temos

m g l cos ⁡ θ = d d t m l 2 θ ˙ = m l 2 θ ¨

Isolando θ ¨ , ficamos com

θ ¨ = g l cos ⁡ θ

Sabendo que ∫ θ ˙ d θ = ∫ θ ¨ d θ , temos

θ ˙ 2 2 = ∫ 0 θ g l cos ⁡ θ d θ

Isolando θ ˙ , temos

θ ˙ = 2 g l sin ⁡ θ

Em θ = 90 , v = l θ ˙ = 2 g l

Passo 3

Pelo teorema, U = Δ T

m g l = 1 2 m v 2

Isolando v , temos

v = 2 g l

Resposta

v = 2 g l

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