A pequena esfera de massa m está presa a um fio leve de comprimento L e se desloca como um pêndulo cônico em um círculo horizontal com uma velocidade tangencial v . Localize o plano de movimento pela determinação de h , e encontre a tração T no fio. (Observação: Utilize a relação v = r θ ˙ = r ω , onde ω é a velocidade angular em torno do eixo vertical.)

Passo 1

Vamos pensar nas forças envolvidas aqui. Temos uma tração T direcionada ao longo do fio e o peso apontando na vertical para baixo como sempre.

Então na vertical temos:

∑ F y = T cos ⁡ β - m g

E na horizontal temos:

∑ F x = T sen ⁡ β

Beleza, na vertical as forças precisam se cancelar, já que a esfera não tem nenhum movimento nessa direção, e na horizontal precisamos de uma resultante centrípeta:

∑ F y = 0

∑ F x = m v 2 r = m r ω 2

Ok, então temos o seguinte sistema:

T cos ⁡ β = m g T sen ⁡ β = m r ω 2

Passo 2

Dividindo a segunda equação pela primeira:

tan ⁡ β = r ω 2 g

E como podemos usar isso para encontrar o valor de h ? Bom olhando para a figura podemos ver que:

tan ⁡ β = r h

r ω 2 g = r h

h = g ω 2

E essa altura já define a posição do plano de movimento!

Passo 3

E agora podemos encontrar a tensão de várias formas. Por exemplo, olhando de novo para a figura podemos ver que:

cos ⁡ β = h L = g ω 2 L = g L ω 2

E olhando para a primeira equação do nosso sistema:

T cos ⁡ β = m g

T = m g ( g L ω 2 ) = m L ω 2

Pronto!

Resposta

h = g / ω 2 e T = m L ω 2 .

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