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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.2 - Ex. 45

Um pequeno objeto é liberado a partir do repouso em um tanque de óleo. A aceleração de descida do objeto é g - k v , onde g é a aceleração constante devido à gravidade, k é uma constante que depende da viscosidade do óleo e da forma do objeto, e v é a velocidade do objeto para baixo. Derive expressões para a velocidade v e para a queda vertical y como funções do tempo t após a liberação.

Passo 1

Vamos começar procurando uma expressão para a velocidade em função do tempo t . Primeiro vamos usar a definição da acelerção:

a = d v d t

d v = a   d t

E substituindo com a expressão para a aceleração:

d v = g - k v d t

d v g - k v = d t

Passo 2

Essa é uma equação diferencial que podemos resolver para chegar na expressão que queremos:

∫ 0 v d v g - k v = ∫ 0 t d t

A integral da esquerda começa em zero porque o objeto parte do repouso:

- 1 k ln ⁡ g - k v g = t

ln ⁡ 1 - k g v = - k t

1 - k g v = e - k t

v ( t ) = g k ( 1 - e - k t )

Passo 3

Agora para achar a expressão para a posição em função do tempo só precisamos lembrar do seguinte:

v = d y d t

d y = v   d t

d y = g k 1 - e - k t d t

E podemos integrar isso para encontrar a solução:

∫ 0 y d y = ∫ 0 t g k 1 - e - k t d t

y ( t ) = g k t + g k 2 e - k t - e 0

y ( t ) = g k t - 1 k 1 - e - k t

Pronto!

Resposta

A expressão para a velocidade é v ( t ) = g k ( 1 - e - k t ) e para a queda vertical é y ( t ) = g k t - 1 k 1 - e - k t .

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