Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 82
Um pequeno veículo com propulsão por foguete possui uma massa inicial de , incluindo de combustível. O combustível é queimado na taxa constante de com uma velocidade de exaustão em relação ao bocal de . Após a ignição o veículo é liberado a partir do repouso sobre a inclinação de . Calcule a velocidade máxima atingida pelo veículo. Despreze completamente o atrito.
Passo 1
Conforme o foguete queima combustível, a sua massa total vai dimunuir. Podemos escrever uma expressão que dê a massa em função do tempo:
Agora vamos olhar para as forças que agem sobre o foguete. Primeiro temos a componente da força peso:
E o sinal negativo aparece porque vamos definir o sentido negativo como sendo “morro abaixo”. E a força do combustível que é queimado pelo foguete estará no sentido oposto:
Passo 2
Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton sobre o foguete:
Lembrando que a massa não é constante:
E nosso objetivo aqui é calcular a velocidade máxima que o foguete atinge, então vamos reescrever a aceleração como:
Então:
E isso é uma equação diferencial separável! Podemos resolvê-la para encontrar a velocidade em função do tempo.
Passo 3
Começamos separando as variáveis:
Integramos agora quando vai de até algum instante , e a velocidade vai de até algum valor .
A integral da esquerda é simplesmente , e vamos resolver as da direita separadamente:
E:
Então nossa equação para a velocidade é:
Passo 4
A velocidade máxima é atingida quando todo o combustível é queimado. Como temos de combustível, e queimamos a uma taxa de , a velocidade máxima é atingida no instante .
Vamos substituir isso na nossa expressão:
Resposta
A velocidade máxima atingida pelo veículo é .