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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 174

O pino P desliza em uma ranhura circular cortada na placa mostrada na figura com uma velocidade relativa constante u = 90   m m / s . Sabendo que, no instante mostrado, a velocidade angular ω da placa é de 3   r a d   / s no sentido horário e que ela decresce a uma taxa de 5   r a d   / s 2 , determine a aceleração do pino se ele estiver localizado (a) no ponto A, (b) no ponto B, (c) no ponto C.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a intensidade da aceleração do colar P no momento exato em que ele atinge B .

Pois muito bem! Vamos começar! Do enunciado extraímos os seguintes dados...

ω = 3   r a d / s   ⤾

α = 0

u = 90   m m / s = 0,09   m / s

u ˙ = 0

ρ = 100   m m

θ = 90 ° = π 2

E consequentemente, temos que...

u 2 ρ = 90 2 100 = 81   m m / s 2 = 0,081   m / s 2

ω 2 = 36   r a d / s 2

2 ω u = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 = 540   m m / s 2 = 0,54   m / s 2

Passo 2

a) Agora se liga! Chamando de F a posição do pino, quando F por passa por A , a velocidade relativa será para a esquerda e igual à...

v A / F = 0,09   m / s   ←

E a aceleração a A ' do ponto coincidente será nula...

a A ' = 0

Quanto à aceleração de A relativo à F , está será dada pela aceleração centrípeta...

a A / F = u 2 ρ = 0,081   m / s 2   ↑

Por fim, falta obter a aceleração de Coriolis...

2 ω u = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 = 540   m m / s 2 = 0,54   m / s 2   ↑

Desse modo, conseguimos obter a A :

a A = a A ' + a A / F + [ 2 ω u   ↑ ]

a A = 0,081   m / s 2   ↑ + 0,54   m / s 2   ↑

a A = 0,621   m / s 2   ↑

Passo 3

b) Para o ponto B , por sua vez, temos que...

r B = 0,1 2   m   ⦩ 45 °

E novamente, chamando de F a posição do pino, quando F por passa por B , a velocidade relativa será para cima e igual à...

v B / F = 0,09   m / s   ↑

E a aceleração a B ' do ponto coincidente será dada por...

a B ' = α × r B - ω 2 r B = 5   0,1 2   ⦫ 45 ° - ( 3 2 ) ( 0,1 2   ) ⦩ 45 °

a B ' = 0,5 2   m / s 2   ⦫ 45 ° + 0,9 2   m / s 2   ⦪ 45 °

Quanto à aceleração de B relativo à F , está será dada pela aceleração centrípeta...

a B / F = u 2 ρ = 0,081   m / s 2   →

Só que dessa vez para a direita! Por fim, falta obter a aceleração de Coriolis...

2 ω u = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 = 540   m m / s 2 = 0,54   m / s 2   ↑

Assim, conseguimos achar a B :

a B = a B ' + a B / F + [ 2 ω u   → ]

a B = [ 1,02 1   m / s 2   → ] + [ 1,4   m / s 2   ↓ ]

a B = [ 1,0 21   m / s 2   ] i ^ - [ 1,4   m / s 2 ] j ^

a B = 1,733   m / s 2   ⦪ 53,9 °

Passo 4

c) Para finalizar, para o ponto C , temos que...

r C = 0,2   m   ↑

E novamente, chamando de C a posição do pino, quando F por passa por C , a velocidade relativa será para direita e igual à...

v C / F = 0,09   m / s   ↑

E a aceleração a C ' do ponto coincidente será dada por...

a C ' = α × r C - ω 2 r C = 0,2 5 ← - [ ( 3 2 ) ( 0,2   m   ↑ ) ↑ ]

a B ' = [ 1   m / s 2 ← ] - [ 1,8   m / s 2   ↓ ]

Quanto à aceleração de C relativo à F , está será dada pela aceleração centrípeta...

a B / F = u 2 ρ = 0,081   m / s 2   ↓

Só que dessa vez para baixo! Por fim, falta obter a aceleração de Coriolis...

2 ω u = 2 ⋅ 3 ⋅ 90 = 540   m m / s 2 = 0,54   m / s 2   ↓

Assim, conseguimos achar a C :

a C = a C ' + a C / F + [ 2 ω u   ↓ ]

a C = [ 1   m / s 2 ← ] - [ 1,8   m / s 2   ↓ ] + [ 0,081   m / s 2   ↓ ] + [ 0,54   m / s 2   ↓ ]

a C = [ 1   m / s 2 ← ] + [ 2,421   m / s 2   ↓ ]

a C = - [ 1   m / s 2 ] i ^ - [ 2,421   m / s 2 ] j ^

Passando pra módulo e ângulo de orientação...

a C = 2,62   m / s 2   ⦫ 67,6 °

Resposta

No ponto A: a A = 0,621   m / s 2   ↑

No ponto B: a B = 1,733   m / s 2   ⦪ 53,9 °

No ponto C: a C = 2,62   m / s 2   ⦫ 67,6 °

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