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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 160

15.160. No instante mostrado na figura, o comprimento da lança AB está sendo diminuído a uma taxa constante de 0,2 m/s e a lança está sendo baixada a uma taxa constante de 0,08 rad /s. Determine (a) a velocidade do ponto B, (b) a aceleração do ponto B.

Passo 1

Hora de resolver mais um problema!

A gente pode começar o problema definindo as componentes da velocidade no ponto B.

v B ' = 6 0,08 = 0,48 m s

A velocidade v B ' está a 90° da lança A B - .

E existe uma outra velocidade que está na direção da lança A B - com módulo de 0,2 m s , essa informação está no enunciado.

Passo 2

Então podemos fazer

v B = v B ' + v A B

Vamos separar por componentes

v B x = v B ' ⋅ cos ⁡ 60 ° - v A B ⋅ cos ⁡ 30 °

Isso aqui fica

v B x = 0,48 cos ⁡ 60 ° - 0,2 cos ⁡ 30 °

v B x = 0,24 - 0,17 = 0,07 m s

E agora vamos fazer para y

v B y = - v B ' ⋅ sin ⁡ 60 ° - v A B ⋅ sin ⁡ 30 °

Isso aqui fica

v B y = - 0,48 sin ⁡ 60 ° - 0,2 sin ⁡ 30 °

v B y = - 0,42 - 0,1 = - 0,52 m s

Agora a gente pode calcular o módulo de v B

v B = 0,07 2 + - 0,52 2 = 0,52 m s

Passo 3

Para terminar de responder o item (a) só falta a gente definir o ângulo. Bom, podemos pensar nos vetores de velocidade como lados de um triângulo, onde o módulo de v B é a hipotenusa e v B x e v B y são catetos.

Então podemos descobrir θ fazendo

tan ⁡ θ = v B y v B x

Então

θ = arctan ⁡ - 0,52 0,07 = - 82,6 °

E assim terminamos o item (a).

Passo 4

Agora vamos para o item (b).

Para calcular a aceleração podemos usar

a B = a B ' + a B - A B + a C

Em que

a B ' = r ω 2 = 6 ⋅ 0,08 2 = 0,384 m s 2 na direção da lança. a B - A B = 0 , essa é a aceleração relativa entre o ponto B e a lança. a C = 2 ω u = 2 0,08 0,2 = 0,032 m s 2 , essa é a aceleração de Coriolis, está perpendicular a lança.

Vamos separar as componentes

a B x = - a C ⋅ cos ⁡ 60 ° - a B ' ⋅ cos ⁡ 30 °

Isso fica

a B x = - 0,032 ⋅ cos ⁡ 60 ° - 0,384 ⋅ cos ⁡ 30 °

a B x = - 0 , 0 49 m s 2

E para y

a B y = 0,032 ⋅ sin ⁡ 60 ° - 0,384 ⋅ sin ⁡ 30 °

a B y = 0,008 m s 2

Então o módulo é

a B = - 0,49 2 + 0,008 2 = 0,05 m s 2

Passo 5

Agora só falta calcular o ângulo. Vamos usar um raciocínio parecido com que usamos no item (a).

tan ⁡ θ = a B y a B x

Então

θ = arctan ⁡ - 0,008 0,049 = - 9,8 °

E terminamos mais uma.

Resposta

a : v B = 0,52 m s ; θ = - 82,6 ° b : a B = 0,05 m s 2 ; θ = - 9,8 °

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O cilindro hidráulico D se estende com uma velocidade v B = 1,2m / s e uma aceleração a B = 0,45m / s 2 . Determine a aceleração de C no instante mostrado.
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