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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 53b

Uma placa anelar de espessura t e módulo de elasticidade transversal G é usada para conectar o Eixo AB de raio r 1 ao tubo CD de raio interno r 2 . Sabendo-se que o torque T é aplicado à extremidade A do eixo AB e que a extremidade D do eixo CD é engastada (a) determinar a intensidade e a localização da máxima tensão de cisalhamento na placa anelas; (b) mostrar que o ângulo de rotação da extremidade B do eixo em relação à extremidade C do tubo é:

ϕ B C = T 4 π G t 1 r 1 2 - 1 r 2 2

Passo 1

Por definição, a deformação é dada por:

γ = τ G

Se aplicarmos a equação que definimos anteriormente:

τ = T 2 π t ⋅ ρ 2

Vamos ter:

γ = T 2 π t ⋅ ρ 2 ⋅ G

Passo 2

O ângulo de torção e a deformação se relacionam da seguinte forma:

ρ ⋅ d ϕ = γ ⋅ d ρ

Isolamos o ângulo de torção:

d ϕ = γ ⋅ d ρ ρ

Aplicamos o γ do passo anterior:

d ϕ = T 2 π t ⋅ ρ 2 ⋅ G ⋅ d ρ ρ

d ϕ = T 2 π t ⋅ ρ 3 ⋅ G ⋅ d ρ

Passo 3

Agora a parte que todo mundo gosta: INTEGRAÇÃO :-)

Vamos integrar para encontrar o ϕ :

∫ B C d ϕ = ∫ r 1 r 2 T 2 π t ⋅ ρ 3 ⋅ G ⋅ d ρ

ϕ B / C = ∫ r 1 r 2 T 2 π t ⋅ ρ 3 ⋅ G ⋅ d ρ

Por sorte, a nossa integral é cheia de termos constantes:

ϕ B / C = T 2 π t G ∫ r 1 r 2 1 ρ 3 ⋅ d ρ

Essa integral acima é fichinha. Vamos resolver ela rapidão:

ϕ B / C = T 2 π t G ∫ r 1 r 2 ρ - 3 ⋅ d ρ

ϕ B / C = T 2 π t G - 2 1 ρ 2 r 1 r 2

Aplicando:

ϕ B / C = T 2 π t G - 2 1 ρ 2 r 1 r 2

ϕ B / C = - T π t G 1 r 2 2 - 1 r 1 2

E agora provamos o que a questão pede:

ϕ B / C = T π t G 1 r 1 2 - 1 r 2 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Um torque de intensidade T = 2k i p * i n . é aplicada a cada uma das barras de alumínio mostradas. Sabendo que τ a d m = 6k s i , determine a dimensão b para cada barra.
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