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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 16.Problemas - Ex. 47

Para uma placa rígida em movimento plano, mostre que o sistema das forças efetivas consiste dos vetores ∆ m i a - ,   - ∆ m i ω 2 r i ' e Δ m i α × r i ' ligados às várias partículas Pi da placa, onde a - é a aceleração do centro de massa G da placa, ω é a velocidade angular da placa, α é sua aceleração angular e r i ' representa o vetor de posição da partícula Pi em relação a G. Mostre também, calculando sua soma e a soma de seus momentos em relação a G, que as forças efetivas se reduzem a um vetor m a - ligado a G e a um binário I - α .

Passo 1

A aceleração de PL é

a i = a - + a P i / G

a i = a - + α × r i ' + ω × ω × r i '

= a - + α × r i ' - ω 2 r i '

Passo 2

Nota: naquela α × r i ' é ⊥ para r i '

Assim, as forças efetivas são mostradas na Figura P16.47 (também mostrada acima). Nós escrevemos

Δ m i a i = Δ m i a - + Δ m i α × r i ' - Δ m i ω 2 r i '

Passo 3

A soma das forças efetivas é

Σ Δ m i a i = Σ Δ m i a - + Σ Δ m i α × r i ' - Σ Δ m i ω 2 r i '

Σ Δ m i a i = a - Σ Δ m i + α × Σ Δ m i r i ' - ω 2 Σ Δ m i r i '

Passo 4

Notamos que Σ Δ m i = m . E como G é o centro de massa,

Σ Δ m i r i ' = m r - i ' = 0

Portanto

Σ Δ m i a i = m a -

Passo 5

A soma dos momentos sobre G das forças efetivas é:

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ r i ' × ∆ m i a - + Σ r i ' × ∆ m i α × r i ' - Σ r i ' × ∆ m i ω 2 r i '

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ r i ' ∆ m i a - + Σ r i ' × α × r i ' ∆ m i - ω 2 Σ r i ' × r i ' ∆ m i

Passo 6

Uma vez que G é o centro de massa,

Σ r i ' Δ m i = 0

Além disso, para cada partícula

r i ' × r i ' = 0

Portanto

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ r i ' × α i × r i ' ∆ m i

Desde α   ⊥   r i ' , temos r i ' × α × r i ' = r i 2 α e

Σ r i ' × ∆ m i a i = Σ r i ' 2   Δ m i α

= Σ r i ' 2   Δ m i α

Passo 7

Desde Σ r i ' 2   Δ m i = I -

Σ r i ' × ∆ m i a i = I - α

Das Eqs. (1) e (2) concluímos que o sistema de forças efetivas se reduz a m a - anexado em G e um par I - α .

Resposta

Σ r i ' × ∆ m i a i = I - α

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