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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 15

Uma partícula de massa m desliza para baixo sobre um plano inclinado sob a influência da gravidade. Se o movimento estiver sujeito a uma força resistiva f = k m v 2 , demonstre que o tempo necessário para sua movimentaçáo por uma distância d a partir do repouso é:

T = cosh - 1 ⁡ ( e d k ) k g s e n ( θ )  

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Para a resolução do nosso problema primeiro vamos aplicar a lei de Newton:

m v ˙ = m g s e n θ - k m v 2

Por integração nós temos:

1 k g s e n θ k tanh - 1 ⁡ v g s e n θ k = t + C

Onde C é a constante de integração.

Em t = 0 temos v = 0 , por substituição...

C = 0

Portanto, resolvendo para a velocidade v , temos:

v = x ˙ = g s e n θ k tanh ⁡ g k s e n θ t

Integrando mais uma vez:

x = g s e n θ k ln ⁡ [ cosh ⁡ ( g k s e n θ t ) ]   g k s e n θ + B

Onde B é a constante de integração

Em t = 0 temos x = 0 , por substituição...

B = 0

Portanto, resolvendo para x = d , temos:

d = 1 k ln ⁡ cosh ⁡ ( g k s e n θ t )

Assim o tempo é:

T = cosh - 1 ⁡ ( e d k ) k g s e n ( θ )  

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

T = cosh - 1 ⁡ ( e d k ) k g s e n ( θ )  

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