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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 63

Quando um poço é perfurado, considera-se que a extremidade do tubo da perfuratriz que se aprofunda no solo encontra uma resistência à torção T A . Além disso, o atrito do solo ao longo das laterais do tubo cria uma distribuição linear de torque por unidade de comprimento que varia de zero na superfície B a t 0 em A . Determine o torque necessário T B que deve ser fornecido pela unidade de acionamento para girar o tubo. Calcule também o ângulo de torção relativo de uma extremidade do tubo em relação à outra extremidade no instante em que o tubo está prestes a girar. O tubo tem raio externo   r o e raio interno r i . O módulo de cisalhamento é G .

Passo 1

A questão quer que determinemos a torção em B e o ângulo de torção relativo de uma extremidade do tubo em relação à outra extremidade no instante em que o tubo está prestes a girar, ou seja, ϕ B / A quando os torques estiverem em equilíbrio. Para isso nos fornece:

T A

r o

r i

t 0

G

Começaremos logo calculando o momento polar de inércia:

J = π 2 r 0 4 - r i 4

Vamos agora calcular o torque em B , pois é com ele que iremos encontrar a deformação ϕ B / A . Para isso temos que realizar um somatório dos torques. Vamos analisar a figura para melhor entender o problema.

O torque gerado pelo carregamento T C é o torque resultante da distribuição linear de torque que varia entre 0 ≤ t 0 . O torque total gerado por esse carregamento é a área de um triângulo de base L e altura t 0 . Resultando em:

T C = t 0 ⋅ L 2

Com isso nosso somatório é:

∑ T = 0

T B - T A - T C = 0  

T B = T A + t 0 ⋅ L 2    

T B = 2 ⋅ T A + t 0 ⋅ L 2    

Passo 2

Com o torque em B encontrado, agora devemos achar o torque total T t o t a l ( y ) . Analisaremos a imagem para melhor compreensão.

Como podemos notar, torque total que age em y sofre influência de T B e de um torque que varia com o comprimento causado pelo carregamento T ( y ) . Para achar esse segundo torque iremos fazer uma relação de triângulos.

t   0 ' y = t 0 L

t ' 0 = t 0 ⋅ y L

Logo o nosso T y será:

T y = t ' 0 ⋅ y 2    

T y = t o ⋅ y 2 2 ⋅ L    

Sendo assim o nosso somatório de torques resulta em um T t o t a l ( y ) igual a;

T t o t a l y - T B + T ( y ) =

T t o t a l y = T B - T ( y )

T t o t a l y = 2 ⋅ T A + t 0 ⋅ L 2 - t o ⋅ y 2 2 ⋅ L

Passo 3

Agora só falta encontrar o ângulo de torção do eixo;

ϕ B / A = ∫ 0 L T t o t a l y ⋅ d y J ⋅ G

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ∫ 0 L T t o t a l y ⋅ d y

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ∫ 0 L 2 ⋅ T A + t 0 ⋅ L 2 - t o ⋅ y 2 2 ⋅ L ⋅ d y

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ⋅ 2 ⋅ T A + t 0 ⋅ L 2 y - t o ⋅ y 3 2 ⋅ L ⋅ 3 0 L

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ⋅ 2 ⋅ T A + t 0 ⋅ L 2 L - t o ⋅ L 3 2 ⋅ L ⋅ 3

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ⋅ 2 ⋅ T A ⋅ L + t 0 ⋅ L 2 2 - t o ⋅ L 2 6

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ⋅ T A ⋅ L + 3 t 0 ⋅ L 2 6   - t o ⋅ L 2 6

ϕ B / A = 1 J ⋅ G ⋅ T A ⋅ L + 2 t 0 ⋅ L 2 6  

ϕ B / A = 3 T A ⋅ L + t 0 ⋅ L 2 3 ⋅ J ⋅ G

Como previamente foi calculado o valor de J , substituindo temos como resultado:

ϕ B / A = 3 T A ⋅ L + t 0 ⋅ L 2 3 ⋅ π 2 r 0 4 - r i 4 ⋅ G

ϕ B / A = 2 ⋅ L   ( 3 T A + t 0 ⋅ L ) 3 ⋅ π r 0 4 - r i 4 ⋅ G

Resposta

ϕ B / A = 2 ⋅ L   ( 3 T A + t 0 ⋅ L ) 3 ⋅ π r 0 4 - r i 4 ⋅ G

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