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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11

A polia dupla mostrada na figura tem massa de 15 kg e um raio de giração centroidal de 160 mm. O cilindro A e o bloco B estão presos a cordas enroladas sobre as polias, conforme ilustrado na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco B e a superfície é de 0,25. Sabendo que o sistema é liberado do repouso na posição mostrada, determine (a) a velocidade do cilindro A quando ele atinge o solo, (b) a distância total percorrida pelo bloco B antes de retornar ao estado de repouso.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine a velocidade do cilindro A quando ele atinge o solo, (b) a distância total percorrida pelo bloco B antes de retornar ao estado de repouso.

Seja vA = velocidade do bloco A, vB = velocidade do bloco B, ω = velocidade angular da polia.

Cinemática.

r A = 5 6 ft ,                 r B = 1 2 ft

v A = r A ω = 5 6 ω

v B = r B ω = 1 2 ω

s A = r A θ = 5 6 θ

s B = r B θ = 1 2 θ

Passo 2

  1. O cilindro A cai no chão.

    2. s A = 3   ft

    s B = 1 2 5 6 3 = 1.8   ft

    Trabalho de peso A:

    U 1 → 2 = ω A s A = 25 3 = 75   ft ∙ lb

    Força de contato normal atuando no bloco B:

    N = ω B = 20   lb

    Força de fricção no bloco B:

    F f = μ k N = 0.25 20 = 5   lb

    Trabalho de força de atrito:

    U 1 → 2 = F f s B = - 5 1.8 = - 9   ft ∙ lb

    Trabalho total:

    U 1 → 2 = 75 - 9 = 66   ft ∙ lb

    Energia cinética:

    T 1 = 0 ;                 T 2 = 1 2 m A v A 2 + 1 2 I ω 2 + 1 2 m B v B 2

    T 2 = 1 2 m A r A 2 ω 2 + 1 2 m C k 2 ω 2 + 1 2 m B r B 2 ω 2 = 1 2 25 32.2 5 6 2 + 30 32.2 6.5 12 2 + 20 32.2 1 2 2 ω 2 = 0.4839 ω 2

    Princípio de trabalho e energia.

    T 1 + U 1 → 2 = T :                 0 + 66 = 0.4839 ω 2

    ω = 11.679   rad/s

    Velocidade do cilindro A:

    v A = 5 6 11.679

    Passo 3

  2. O bloco B para.

Para o bloco B e a polia C.

T 3 = 1 2 I ω 2 + 1 2 m B v B 2 ;               T 4 = 0

T 3 = 1 2 m C k 2 ω 2 + 1 2 m B r B 2 ω 2 = 1 2 30 32.2 6.5 12 2 + 20 32.2 1 2 2 11.679 2 = 29.233   ft ∙ lb

Trabalho de força de atrito:

U 3 → 4 = - F f s B ' = - 5 s B '

Princípio de trabalho e energia.

T 3 + U 3 → 4 = T 4 :               29.233 - 5 s B ' = 0

s B ' = 5.8465   ft

Distância total para o bloco B.

d = s B + s B ' :               d = 1.8 + 5.8465

Resposta

a )   v A = 9.73   ft/s ↓

b )   d = 7.65   ft

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