Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 79
Um ponto sobre uma chapa fina está sujeito a dois estados de tensão sucessivos como mostra a figura. Determine o estado de tensão resultante com referência a um elemento orientado como mostrado na parte inferior da figura.
Passo 1
Ih! Fala aí!
Bom! A questão dá dois elementos orientados de diferentes ângulos, e pede o estado de tensão resultante dos dois.
Como mostrado na própria figura, com aquele símbolo de o que temos que fazer é girar os dois elementos para caírem na orientação do terceiro e depois somar as tensões que aparecerem em cada componente.
Bora!
Passo 2
Vamos lá calcular as tensões para o primeio elemento! Da figura do enunciado, obtemos que o estado plano nos fornece os seguintes dados:
, com valor positivo, uma vez que é uma tensão normal de tração.
,
, uma vez que não aparecem as famosas setas de tensão cisalhantes na nossa figura.
Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de com a horizontal.
Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo , no sentido horário.
Para ver isso, você pode imaginar que pegou o quadradinho na mão. E vai girar ele para ficar com a orientação do teceiro quadradinho. Aí você olha em que sentido ele girou. Cê pode tanto girar ele no sentido horário de ou no anti-horário de .Beleza? Bora!
Passo 3
Vamos juntar os dados para montar o círculo de mohr para esse elemento:
E vamos determinar as coordenadas e que representam nosso estado de tensões:
E como a gente quer girar nosso elemento no sentido horário, vamos gira-lo no círculo no sentido horário (o dobro).
Percebemos que o nosso segmento está na horizontal. E já podemos marcar o segmento do elemento girado. Nosso círculo fica assim:
Utilizando-se o ângulo dado, podemos obter:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar as tensões para o outro elemento. Analisando a figura do enunciado, tiramos os seguintes dados no estado plano desse elemento:
, uma vez que temos compressão.
, uma vez que não há nenhuma tensão normal na vertical.
, com valor positivo, uma vez que as setas de tensão cisalhante estão apontando para o primeiro e terceiro quadrantes.
Ao olhar nossa figura do enunciado vemos que ela faz um ângulo de com a horizontal.
Temos então, que para deixar esse elemento na orientação do terceiro, vamos rotacioná-lo de um ângulo , no sentido anti-horário.
Passo 5
Vamos juntar os dados para montar o círculo de mohr para esse elemento:
E vamos determinar as coordenadas e que representam nosso estado de tensões:
E como a gente quer girar nosso elemento no sentido ati-horário, vamos gira-lo no círculo no sentido anti-horário (o dobro).
Nosso círculo fica assim:
Vamos achar :
E agora achamos :
Utilizando-se o ângulo dado, podemos obter:
Passo 6
Agora, podemos calcular o estado resultante, que é a soma dos estados parciais sucessivos: