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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 85

Uma porção do eixo de aço A-36 é submetida a um carregamento de torção distribuído linearmente. Se o eixo tiver as dimensões mostradas na figura, determine as reações nos apoios fixos A e C . O segmento A B tem diâmetro de 30   m m , e o segmento B C tem diâmetro de 15   m m .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem com vocês?

O enunciado pede que encontremos o torque nos apoios A e C . Ele nos dá as seguintes informações:

Aço A-36, portanto G = 75 ⋅ 10 9   P a

d A B = 30   m m = 0,03   m

d B C = 15   m m = 0,015   m

Vamos construir o nosso diagrama de corpo livre:

Fazendo o somatório das forças, temos:

↺ + ∑ M = 0

T C - T + T A = 0

T A = T - T C

O valor do carregamento aplicado na seção A B é 1 500   N ⋅ m / m , podemos então encontrar o valor do torque que atua a 0,4   m da extremidade A , ou seja 1 3 do comprimento do segmento A B com relação ao ponto onde a carregamento de torque é maior. Calculamos usando a área do triângulo, b a s e ⋅ a l t u r a 2 :

T = 1500 ⋅ 1,2 2 = 900   N ⋅ m

Fazemos um corte à uma distância x de A e teremos então um novo carregamento t ( x ) .

O toque T ( x ) é dado por:

T x = t x ⋅ x

Através de uma semelhança de triângulos encontramos uma expressão para t ( x ) :

1,5 ⋅ 10 3   1,2 = t x 1,2 - x  

t x = 1250 ⋅ 1,2 - x

t x = 1500 - 1250 x   N ⋅ m / m

Substituindo em T ( x ) , temos:

T x = t x ⋅ x

T x = 1500 x - 1250 x 2   N   ⋅ m

Passo 2

Como o eixo está fixo nas duas extremidades, sabemos que o ângulo de C em relação a A vai ser nulo.

ϕ C / A = 0

Como a região onde o ângulo é zero fica no segmento A B , o torque T C vai provocar um ângulo de torção tanto no segmento CB, quanto no segmento A B . Portanto, temos:

T C L B C J B C G + T C L A B J A B G - ∫ 0 1,2 T x d x J A B G = 0

Sendo que o momento polar de inercia, J, é dado por:

J = π 2 c 4

Substituindo:

2 ⋅ 0,96 T C π ⋅ 0,0075 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 + 2 ⋅ 1,2 T C π ⋅ 0,0 15 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 - ∫ 0 1,2 2 ⋅ 1500 x - 1250 x 2 d x π ⋅ 0,015 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 = 0

2,7766 ⋅ 10 - 3 T C = 1,6767 ⋅ 10 - 4 ∫ 0 1,2 1500 x - 1250 x 2 d x

2 , 7766 ⋅ 10 - 3 T C = 1,6767 ⋅ 10 - 4 ∫ 0 1,2 1500 x d x - ∫ 0 1,2 1250 x 2 d x

2,7766 ⋅ 10 - 3 T C = 1,6767 ⋅ 10 - 4 1500 x 2 2 0 1,2 - 1250 x 3 3 0 1 , 2

2,7766 ⋅ 10 - 3 T C = 1,6767 ⋅ 10 - 4 ⋅ ( 360 )

2,7766 ⋅ 10 - 3 T C = 0,0603612

Podemos então encontrar o valor de T C :

T C = 21,74   N ⋅ m

Substituindo na expressão que encontramos fazendo o somatório dos momentos:

T A = T - T C

T A = 900 - 21,74

T A = 878,26   N ⋅ m

Resposta

T C = 21,74   N ⋅ m

T A = 878,26   N ⋅ m

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