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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 70

O contorno da superfície do eixo é definido pela equação y = e a x , onde a é uma constante. Se o eixo for submetido a um torque T em suas extremidades, determine o ângulo de torção na extremidade A em relação à extremidade B. O módulo de cisalhamento é G.

Passo 1

Oi galera! Tudo bem com vocês?

O problema nos informa que o contorno da superfície do eixo é dado pela equação y = e a x .

Podemos encontrar o ângulo de torção ϕ A / B através da expressão:

ϕ = ∫ 0 L T d x J G

Devemos lembrar que o raio é a medida do centro até qualquer ponto da circunferência, portanto a variação dele equivale a nossa equação do contorno da superfície. Substituindo, temos:

ϕ A B = ∫ 0 L T d x π 2 ⋅ e a x 4 ⋅ G

Resolvendo a integral:

ϕ A / B = 2 T G π ∫ 0 L 1 e a x 4 d x

Aplicando a integração por substituição ( u = a x ):

ϕ A / B = 2 T G π ∫ 0 a L 1 a e 4 u d u

Retirando a constante:

ϕ A / B = 2 T G π a ∫ 0 a L 1 e 4 u d u

ϕ A / B = 2 T G π a ∫ 0 a L e - 4 u d u

Aplicando a integração por substituição ( v = - 4 u ):

ϕ A / B = 2 T G π a ∫ 0 - 4 a L - 1 4 e v d v

Retirando a constante:

ϕ A / B = 2 T G π a - 1 4 ∫ 0 - 4 a L e v d v

ϕ A / B = 2 T G π a - 1 4 e v 0 - 4 a L  

Simplificando:

ϕ A / B = - T 2 π a G e v 0 - 4 a L  

ϕ A / B = T 2 a π G ⋅ ( 1 - e - 4 a L )

Resposta

ϕ A / B = T 2 a π G ⋅ ( 1 - e - 4 a L )

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